利用几何画板培养学生直觉思维能力的探究

王瑶

［摘  要］ 新课标明确提出：“要充分运用现代信息技术的功能，让它成为课程设计与解决问题的重要工具，使得学生更加乐意投入数学学习中去.”文章认为，致力于现代化的教学手段，整合几何画板与教学活动的开展，培养直觉思维的措施可以从以下几点做起：概念教学，以直观诱导直觉思维；习题教学，以猜想启发直觉思维；自主探究，以拓展促进直觉思维.

［关键词］ 几何画板；直觉思维；数学

随着时代的发展，信息技术的工具性特征已然得到有效验证，整合信息技术与课堂教学是新课改大力推进的项目之一. 如今的数学教育异常重视对学生各项思维水平与能力的培养，文章尝试将几何画板的使用与学生直觉思维能力的培养相结合，谈谈如何发挥几何画板的教学作用，以及对学生直觉思维能力会产生怎样的影响.

几何画板的简介

几何画板是简单、直观、易操作的教学软件，它能为学生提供一个自由操控图形的活动环境，学习者通过任意变化、拖动图形，可以观察、猜想、论证一些结论. 可见，几何画板对激发学生的主观能动性具有一定的影响，学生在自主创设的“实验”中主动探索，启发数学思维，获得数学思想.

于师生而言，几何画板的使用，为教学活动的开展创设了更加直观的条件. 熟练掌握与应用几何画板，就像我们拿三角板画图一样便捷. 尤其是遇到一些复杂的几何图形问题，利用几何画板的分解、拼接与转化，能让学生在直观形象的图形变化中获得解题思路，提升解题能力. 因此，几何画板对学生直觉思维的培养具有直接影响.

几何画板培养直觉思维的实施措施

1. 概念教学，以直观诱导直觉思维

概念反映的是某事物的本质属性. 概念教学常常依赖的是实物或物质形态，尤其是关系到图像类的概念，没有具体形态的直观表达，很难揭示其内涵与本质属性. 因此，丰富的图形是揭示概念性质不可或缺的形态语言. 几何画板具有表达图形的重要功能，抽象的概念在几何画板直观的图像语言表达中显得更加直观、形象，学生的直觉思维在几何画板的利用中得以诱导.

案例1 “二次函数”教学.

二次函数是初中阶段的一个教学重点与难点内容，从常量计算到函数变量的转化是学生认知发展的重大突破. 解析式、顶点坐标、对称轴、开口方向、常量关系、形状变化等众多因素之间有着丰富的联系，这么多知识点若依靠机械式的背诵，无法达到融会贯通的目的. 几何画板可将二次函数图像完美地表达出来，利用其拖动功能，能直观形象地看清楚数值变化对图像形状、开口、顶点等的影响.

例如，利用几何画板观察二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像，授课时用鼠标进行以下操作：①变化常数a，b，c的值，观察这几个常数对抛物线的位置、形状等产生怎样的影响；②在几何画板上拖动抛物线，让学生仔细观察抛物线图像与x轴的交点数、b2-4ac、0之间的关系；③继续拖动抛物线进行上下、左右的平移，观察二次函数y=a（x-h）2+k中k值与h值的变化.

通过几何画板的运用，直观形象地凸显出形变与量变之间存在的聯系，学生在自主操作中通过观察、揣摩、分析后提炼结论，这种方式能有效地促进学生对概念的认知，让学生从根本上了解二次函数的性质，诱导学生直觉思维能力的形成与发展.

2. 习题教学，以猜想启发直觉思维

猜想是根据问题条件推测的一种结果，是直觉思维的典型代表. 它是推动学科发展的直接动力，尤其是数学猜想对解题能力和直觉思维的培养具有举足轻重的作用. 历史告诉我们，很多行之有效的数学思想和方法均源于猜想. 猜想作为一种研究科学的基本模式，对学生创造能力的培养影响深远.

几何画板可在习题教学中，为学生猜想提供良好的环境，让学生通过大胆猜想获得解决问题的思路，实现创新. 经实践证明，利用几何画板的功能进行习题教学，能让学生在猜想中启发直觉思维的形成与发展.

案例2 “几何图形中找函数关系式”的习题教学.

原题：如图1所示，△ABC是☉O的内接三角形，其中∠BCA=90°，CA=2CB，过点C作线段AB的垂线l与☉O相交于点D，E为垂足. 假设点P为圆弧AC的一个动点（A，C除外），射线AP与l相交于点F，分别连接PD，PC，且PD与AB相交于点G.

（1）证明：△ACP∽△DFP；

（2）如果AB=5，圆弧AP=圆弧BP，则DP的长度是多少？

（3）若点P在运动时，假设=x，tan∠DFA=y，写出y与x的函数关系式，x的取值范围不要求写.

这是一道综合性较强的习题，前两问大部分学生求解都没有什么问题，但是第（3）问让不少学生犯了难，此问以点的运动求两个变量的函数关系式. 几何画板可以直观地表达出y与x函数关系式的图像，学生根据图像猜想它们的函数关系式则简单多了. 这种方式结合了直觉思维、正向与逆向思维等过程，为学生提供了更大的思考空间.

用几何画板中的追踪功能获得y与x函数关系式的图像，然后根据图像猜想函数关系式，操作如下：①画出与条件相符的图像；②运用长度功能，分别度量出线段GA，GB，EA，EF的长度，点击“计算”，分别获得，的值；③将，的标签分别更改为x=，y=；④绘制点（x，y），追踪绘制的点；⑤拖动点P，得到y关于x的函数图像.

观察几何画板上呈现的动态图像，可猜想出第（3）问的结论为y=x. 当拖动点P时，函数图像发生了相应的变化，根据几对数值可验证猜想的结论是正确的. 几何画板让学生通过直观图像大胆进行猜想，在观察中验证猜想，从而有效地解决问题. 学生的直觉思维能力在几何画板的应用下与猜想的实施得以启发.

3. 自主探究，以拓展促进直觉思维

传统教学模式最大的弊端在于无法凸显学生的主体地位，学生因没有亲历实际操作过程而缺乏相应的经验，这也是导致学生认为数学学科抽象且枯燥的主要原因. 缺乏自主探究过程的教学，明显抑制了学生的潜能发挥. 笔者发现，利用几何画板能鼓励学生自主探究数学，能有效地激发学生的潜能，充盈学生的认知，对培养学生的直觉思维能力具有无可替代的作用.

案例3 “动点”问题的自主探究.

原题：已知点A为△ABC的顶点，且在定圆N上运动，点B，C是固定的两点，△ABC的外心O的轨迹是怎样的？

面对此题，学生产生了各种猜测，分别有线段、圆、抛物线等，在教师的鼓励下，学生运用几何画板进行了自主探究，具体操作步骤如下：①拖动点C至圆内，得到直线；②进一步探究，当点B，C在圆的外部时，其轨迹为一根线段；③当点B，C分别在圆的内部与外部时，其轨迹为一条直线；④当点B，C都落在圆的内部时，其轨迹为一条射线.

对于这些结论，教师追问道：“这就完全对了吗？”此时，有学生提出点B，C都在圆的外部，但是线段BC与圆却是相交的关系，其轨迹就是两根射线.

……

“动点”问题是初中数学教学的难点之一，不少学生看到此类题目就产生了畏难心理. 其实，不论多么复杂的问题，只要厘清其发生和发展的脉络，解题思路就会暴露出来.

本题中，学生在自主探索的过程中不断产生了新的结论，每个层次水平的学生都被几何画板的神奇所吸引，大家都全身心地投入到了此次探究活动中，不仅获得了良好的自主探究能力，还为猜想提供了较好的技术平台. 学生在自主探究中建构新知、猜想结论、不断创新，为直觉思维能力的形成夯实了基础.

总之，利用几何画板培养学生的直觉思维在数学教学中意义重大. 创造性思维的形成与发展主要依赖直觉思维与逻辑思维的支撑，而直觉思维的培养需要教师渗透在教学的各个环节中，学生在几何画板的帮助下，就能润物细无声地获得更多的数学能力.