浅析如何在高中数学教学实践中培养学生的数学思维

2022-05-30李慧丽

数学教学通讯·高中版 2022年10期

李慧丽

［摘要］数学教学是关于数学思维的教学，数学思维的培养关乎着学生学习能力的提升. 在实际教学中，教师应采用各种多元化的教学手段来激活学生的数学思维，诱发学生深度思考，通过各种数学化的过程来发展数学思维，落实学生的数学核心素养.

［关键词］数学思维；数学化；核心素养

数学思维在“教”与“学”中的价值是不言而喻的，它是解决数学问题的根本策略. 好的数学思维可以更科学地、有效地指导数学实践活动，促进学生可持续发展能力的提升. 对于数学思维能力的培养是一个长期且复杂的过程，应贯穿数学教学始终，渗透数学教学的每个角落，通过具有丰富数学思维的数学教学，提高学生的数学思维能力，引导学生用数学思维理性地思考问题，从而学会学习. 值得注意的是，数学思维能力的培养是难以靠“灌输”来实现的，其更多的是一种感悟、经验、能力，是一个长期积累、不断提升的过程. 笔者根据教学实践，探寻锻炼数学思维的有效途径，现将探寻过程分享给大家，仅供参考！

[?] 经历过程，品味思想

在数学教学中，若想发展学生的数学思维，就要充分展现学生的思维过程，引导学生在过程中去发现、去探索、去品味，让学生的思维在实践活动中得到锻炼和提升. 在解题教学中，教师要为学生提供一个自由展示的舞台，展示解题思路形成和实施的整个过程，以此悟出数学解题的思维活动方式.

例1 已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），若a>0，且对任意的x，x∈［1，e］都有f（

x）-f（

x）≤

-，求实数a的取值范围.

解题前，教师让学生思考这样两个问题：①f（x）的单调性如何？②题中的绝对值符号如何处理？

学生独立思考后，师生共同交流，完善解答：当a>0时，f（x）在x∈［1，e］上是增函数，又y=是减函数，不妨设1≤x≤x≤e，则f（

x）-f（

x）≤

-等价于f（x）-f（x）≤-，即f（x）+≤f（x）+. 故原题等价于函数h（x）=f（x）+在x∈［1，e］上是减函数，所以h′（x）=+2x-≤0恒成立，即a≤-2x2在x∈［1，e］上恒成立. 因为y=-2x2在x∈［1，e］上是减函数，所以a≤-2e2，又a>0，所以a∈ .

在教学中，教师抛出问题诱发学生深入思考，从而避免简单的模仿，引导学生探寻问题的本质，让学生体验“构造新函数”方法之妙的同时，感受探索的乐趣，激发学生数学学习的积极性. 而且通过探索不断扩充学生的认知结构，丰富学生的学习方法和解题经验，有效发展学生的数学思维.

[?] 借助概念，领悟抽象

在概念教学中，教师应带领学生经历概念形成、发展的过程，领悟抽象化数学思维方法，以此培养学生的抽象思维能力. 在教学中，为了呈现概念形成和发现的过程，教师可以有针对性地设计问题情境，用数学问题推动教学进程，用数学问题诱发学生数学思考，用数学问题促进学生思维能力提升.

例2 探究二项式定理.

为了让学生更好地体验数学知识的形成过程，教师创设了如下问题：

问题1：（a+b）（c+d）的展开式有多少项？有无同类项？

（利用分步计数原理得到其展开式有4项，即ac，ad，bc，bd，无同类项）

问题2：（a+b）（a+b）的原始展开式有几项？有几项同类项？

（原始展开式有4项，即a2，ab，ab，b2，有2项同类项，即（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2）

问题3：（a+b）（a+b）（a+b）的原始展开式有几项？合并后是哪几项？

（原始展开式有8项，合并后为（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3）

问题4：不用计算，猜一猜（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展开式有几项.

（通过对比分析让学生发现原始展开式有16项，逐渐发现数学规律）

问题5：你能准确快速地写出（a+b）·（a+b）（a+b）（a+b）的原始展开式吗？合并后又有哪些项呢？

问题6：（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）的原始展开式中一定有a3b这一项吗？完成哪件事可以得到这一项呢？

问题7：a3b共有多少个呢？你是如何得到的呢？

（引导学生从4个（a+b）的乘积中，取1个b和3个a的乘积个数，这样C的出现也就水到渠成了）

问题8：该项的个数与其系数有何关系？

（经过验证容易发现该项的个数恰好为其系数，由此清晰地感受到其中确有同类项的存在）

问题9：（a+b）n合并后的展开式中，an-rbr的系数是多少？

问题10：如何轻松、准确、快速地写出（a+b）n合并后的展开式呢？

（经历以上探究活动，规律已经涌现，通过总结归纳，让学生自己发现定理）

通过对比分析让学生发现（a+b）n展开式的项数共有n+1项，系数分别为组合数C，C，…，C，…，C，由此通过观察、对比、抽象，让学生体验到数学知识的形成过程，促进学生数学分析能力和数学抽象能力的提升.

只有具有良好的概括能力才能将前后所学的知识串联起来，从而形成完整的认知体系，避免因为知识漏洞而影响学生迁移能力的提升. 学生抽象概括能力的培養往往需要经历一个长期的过程，教师要为学生营造一个平等的、和谐的学习氛围，引导学生去发现、去概况，切身体验数学的抽象之美.

[?] 探寻美学，培养直觉

数学知识是一种传承，更是一种创新，而创新离不开直觉思维，因此教学中教师应重视学生直觉思维的培养. 表面上看直觉思维具有一定的主观性，但是其与学生的学习经验、知识储备、思考习惯息息相关. 培养学生的直觉思维能力有助于学生数学学习能力的提升，有助于学生创新意识和创新能力的发展，其在教学中有着重要的意义和作用. 在日常教学中，教师要鼓励学生从直觉的角度去观察、分析，直至解决问题，以此借助直觉更好地感知数学、体验数学.

对于中心对称、轴对称这些名词，学生并不陌生，其所体现的是一种美，即对称美. 在高中数学教学中，因追求速度和容量，课堂上往往忽视了对数学美的研究. 为了改变这一现状，教师可以开展一些探究活动，让学生在探究中发现知识、发现美，从而在传承的基础上，创新性地看待问题，提升学习的积极性. 例如，为了让学生体验函数图像的中心对称之美，教师安排学生探究“函数y=f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件，学生借助化归转化思想进行探究可得其充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”. 在该命题的启发下，引导学生解决更多关于中心对称的问题，让学生感受探究的乐趣.

例3 求函数h（x）=log2图像对称中心的坐标.

在以上思路的启发下，学生给出了解题过程：

设函数h（x）=log图像的对称中心为P（a，b），根据以上探究结果可知y=h（x+a）-b是奇函数. 设f（x）=h（x+a）-b，则f（x）=log-b，即f（x）=log-b. 由不等式>0的解集关于原点对称，得a=2. 此时f（x）=log-b，x∈（-2，2）. 任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）=log2图像对称中心的坐标是（2，1）.

在日常教学中，要少一些简单的模仿和灌输，多给学生一些想象的空间，鼓励学生去对比、去联想，以此在直觉运用中体验数学的内在美.

[?] 联系生活，拓展升华

在应试教育的束缚下，似乎一切学习活动都以提高学生成绩为出发点，这样的教学是低效的、消极的. 为了让学生更好地体验数学、掌握数学，激发学生的积极情感，教师可以引导学生从生活实际出发，让学生切身体验数学的应用价值，以此提高学习品质，提高数学教学的有效性. 为了让学生更好地“用数学”，教师常常引入一些实际应用问题，引导学生从数学的角度分析和解决问题，提升学生的数学应用能力.

例4 如图1所示，现有一片边长为1（单位：百米）的正方形空地ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘边缘的曲线段MN为函数y=

≤x≤

的图像，另外两个边缘MK，NK分别为平行于CD和BC的直线段. 为了进一步美化这片空地，计划在这片空地上修一条直路l（宽不计）. 直路l将该片空地分成两部分，且直路l与曲线段MN相切于点P. 记点P到边AD的距离为t，f（t）表示在直线l左下部分的面积.

（1）求f（t）的解析式；

（2）求面积S=f（t）的最大值.

学生面对应用问题时容易出现畏难情绪，尤其是面对动态变化的问题时更显得束手无策. 为了让学生能够有所突破，在求解例4时，当学生独立思考后，由教师组织学生进行小组交流，以此厘清问题的来龙去脉. 学生积极讨论，认为确定直路l左下部分的形状是解题的关键. 有的学生认为这个形状应该是三角形，有的学生认为是四边形，还有学生说是五边形，这样借助分歧诱发学生深度思考，通过积极的讨论、探索，使问题逐渐清晰.

学生解答：（1）因为y=，所以y′= -，所以过点P的切线方程为y-= -（x-t），即y=-x+. 令x=0，得y=. 令y=0，得x=2t. 所以切线与x轴相交于点E（2t，0），与y轴相交于点F0

，.

通过2t，分别与1的比较可确定直路l左下部分为直角三角形或直角梯形. 分析可解得f（t）=

2t-t2

，≤

t<，

，≤t

≤，

，

≤.

（2）当≤t<时，f（t）=2t-t2= -

t-2+<；当