关注数学学习经验,设计适性的阶梯式单元提升作业

易良斌 吴维静

[摘  要] “双减”政策明确要求减轻学生的作业负担，因此教师在布置作业时要更注重“减负提质”. 在此背景下，文章以单元教学为基础，从学生的高频错题为出发，以“全等三角形”为案例提出基于学情的阶梯式单元提升作业设计方案，借助基础相似的两个班级进行对照实验，利用SPSS软件对实验班和对照班前测及后测的数据进行分析，从而论证此次作业设计的有效性.

[关键词] 适性;阶梯式;单元提升作业;全等三角形

引言

作业是我们日常教学的重要组成部分，其主要目的一方面是为了帮助学生巩固知识，促其进步;另一方面则是帮助教师反馈教学效果，达到精准教学的目的. 数学单元作业是教师在单元目标和单元设计的指导下，将单元内零散、单一的作业采取删减、增补、重组等方式整合，在单层面统筹考虑整个单元的系列性作业[1]. “双减”政策明确要求减轻义务教育阶段学生的作业负担，如何在有限的时间里设计更高效的作业，无疑对教师的作业设计水平提出了更高的要求. 在此背景下，笔者以“全等三角形”为例，尝试设计适性的阶梯式单元提升作业.

设计思路与核心

笔者发现在几何题的讲解中，学生有时仅仅只差某一个提示就能完成整道难题. 而数学作业具有针对性、发展性、探究性、差异性等特征，于是笔者在基于学情的背景下尝试阶梯式单元提升作业设计，它以维果茨基“最近发展区”理论为主要依据，同时结合“支架式教學”“类比教学”“变式训练”“启发式问题串”等教学理念的优点进行设计.

本文提到的阶梯式单元提升作业即作业没有明确的分层，但是每一个专题和问题之间都有相关的联系，难度按照相对较小的阶梯进行，因此每题都可能成为不同能力学生的“分水岭”[2]. 教师不会告诉学生问题的难度指数，避免学生产生心理定式，学生将根据自身能力进行选择，从而在逐步提升自我需求的同时满足教师要求和学生需求之间的平衡. 由于阶梯较小，学生能通过问题之间细小的变化得到相关的提示，从而建立完成作业的信心，降低对数学难度的恐惧，逐步完成更高等级的作业，进一步逼近自身的“最近发展区”.

本作业设计充分关注学生已有的数学经验，从学生的高频错题出发，根据错因分析针对学生的薄弱点设计阶梯式作业，秉承从易至难、从基础知识到应用能力的梯度设计4个课时模块（图1），从而更好地体现单元提升作业中的提升性、反思性、应用性和拓展性要求.

其中将每课时的作业量控制在6题以内，设计以下四种类型的作业（图2），以“习题演练，自我提升—归纳总结，自我反思—综合应用，自我巩固—拓展创新，自我突破”设计4个主题模块，其中提升型作业注重相关考点、题型的演练，落实“双基”;反思型作业注重方法归纳总结，渗透数学思想;应用型作业注重综合应用知识点解决问题，发展关键能力;拓展型作业注重思维发散，进一步提升核心素养.

通过提升型作业归纳总结得到一定的知识储备，进而对知识进行应用与发散，最后由交流提炼得到进一步提升. 学生通过经历“提升—反思—应用—拓展”的步骤来自主建构知识框架，从而提高几何直观、推理能力、应用意识和创新意识等核心素养，增强逻辑推理能力和逻辑表达能力等关键能力.

单元主题和设计目标

（一）单元主题

“全等三角形”是几何入门所必需的基础知识和基本技能，是初中几何从实验阶段过渡到论证几何阶段的关键节点，在培养学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力方面具有重要作用. 本文为基础教学完成后进行的提升作业设计，通过学生自主探索三角形全等的条件，归纳常见图形和基本思路，研究全等三角形的应用价值，从而引导学生深度建构，发展核心素养与关键能力，为进一步学习四边形、圆、相似三角形等其他几何知识打下良好的基础.

（二）设计目标

见表1.

作业设计分析

以学生的高频错题为出发点，通过学生自主完成、归纳总结、思维发散、交流提炼的形式进行，由于篇幅有限，笔者将以作业（三）全等三角形的构造方法以及作业（四）全等三角形的应用为例进行具体分析.

作业（三）  全等三角形的构造方法

作业中高频错题：

（作业本1.5.1 第6题）如图4，已知AB=DC，AC=DB，求证：∠A=∠D.

下面是两位同学的对话：

方方说：根据条件，找不到全等三角形，圆圆说：如果添加辅助线，就可以找到全等三角形了，请根据提示给出证明.

（作业本1.5.2第7题）如图5，在△ABC中，AB=5，AC=9，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（    ）

A. 4

C. 2

错因分析  上述两题都需要增添辅助线，对于此类题型，能否添对辅助线构造出合适的全等三角形是解决问题的关键，而学生对辅助线的添法往往没有头绪.

就此，笔者设计提升作业“全等三角形中常见的构造方法”，借此为学生在解决几何问题中添加辅助线提供思路.

全等三角形的构造方法

一、习题演练，自我提升

类型1：连接线段

1. 如图6，已知AB=DC，AC=DB，求证：∠B=∠C.

类型2：作垂线

2. 已知：如图7，DA平分∠CAB，∠ABD+∠ACD=180°，∠B=90°，易证：DB=DC.

探究：如图8，DA平分∠CAB，∠ABD+∠ACD=180°，∠B<90°，求证：DB=DC.

类型3：倍长中线

3. 如图9，在△ABC中，D为BC的中点，求证：AB + AC> 2AD.

类型4：截长补短

4. 如图10，AB∥DC，AD⊥CD，点P在AD上，BP，CP分别平分∠ABC，∠BCD. （1）求证：PA=PD;（2）求证：AB + CD = BC;（3）若去掉AD⊥CD这个条件，上述两问的结论是否仍成立？

二、归纳总结，自我反思

根据上述几种题型的练习，你能否结合平时所学总结常见的构造三角形的方法？请试着归纳出来.

三、综合应用，自我巩固

5. 如图11，在△ABC中，∠C=2∠B，DA为∠CAB的角平分线，求证：AB=AC+CD.

四、拓展创新，自我突破

6. （1）问题解决：请你证明下面命题，如图12，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF且DE与AB相交于点E，DF与AC相交于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF.

（2）问题拓展：如图13，在四边形ACDB中，∠ABD+∠ACD=180°，BD=CD，∠CDB=120°，在顶点D处作一个60°的角，角两边分别交AB，AC于点E和点F，连接EF，猜想线段EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由.

设计意图  引导学生感受全等三角形中不同的添加辅助线的方法：连接线段、作垂线、倍长中线、截长补短和旋转，通过不同的添加辅助线的方法感受辅助线在解决几何问题中“搭桥牵线”的作用及优越性，及时渗透转化思想.

另外，在作业讲解时教师要对不同背景选择不同的方法进行总结：若出现角平分线则优先考虑作垂线;若有中线条件优先考虑倍长中线;若猜想两条线段之和等于第三条线段的证明优先考虑截长补短;有两边相等、旋转后为一条直线的问题时优先考虑通过旋转来构造全等三角形. 同时教师要引导学生理解辅助线的作法往往不唯一，需要我们平时多积累与总结.

作业（四）  全等三角形的应用

作业中高频错题：

（作业本  复习题  第12题）已知：如图14，点B，C，D在同一条直线上，∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC. 连接BE，AD，分别交AC，CE于点M，N，求证：（1）△ACD≌△BCE，（2）CM=CN.

错因分析  找不到合适的全等三角形，或虽然找到全等三角形，但是认为缺少证明的条件，不理解第一问证出的全等有何用处.

因此笔者设计提升作业“全等三角形的应用”，让学生体会全等三角形在实际解决问题中的作用.

全等三角形的应用

一、习题演练，自我提升

类型1：证明线段、角相等

1. 如图15，已知AC与BD相交于点O，AB=DC，∠D=∠A.

（1）请写出你认为正确的5个结论（对顶角除外，且不再添加辅助线）.

（2）从你写出的结论中，任选一个说明理由.

类型2：证明位置关系

2. 两个等腰直角三角形三角板如图16①所示放置，将它抽象出图16②的几何图形，其中B，C，E在一条直线上，连接CD.

（1）图16②有全等三角形吗？请说明理由;（2）证明：DC⊥BE.

类型3：进行面积变换

3. 如图17，在四边形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BCD= 90°，AC=5，则四边形ABCD的面积是多少？

类型4：解决实际问题

4.如图18，为了测量湖泊E与岸边D和A的距离，进行如下操作：

（1）作线段AB，取其中点O;

（2）连接DO并延长使DO=OC;

（3）连接BC;

（4）连接EO交BC于点F，测量BF，CF的长度即可知道AE和DE的长度，请说明这样做的理由.

二、归纳总结，自我反思

通过上述练习，你是否已经感受到全等三角形的作用？请你尝试归纳总结全等三角形常见的应用价值.

三、综合应用，自我巩固

5. 已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AC⊥BD，作BF⊥CD交CD于点F，BF与AC交于点G，∠EGB=∠EDA.

（1）如图19，求证：AD = CD;

（2）如图20，BH是AE上的中线，若DE=EG，AE=2DE，是否有三角形的面积等于△ADE面积的2倍？请直接写出来.

四、拓展创新，自我突破

6. 问题背景：如图21，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=120°，∠ABC=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠FAE=60°.

（1）自主发现：线段BE，EF，FD之间有何数量关系？请说明理由.

（2）探索延伸：如图22，四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC +∠ADC=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠FAE=∠DAB，（1）的結论是否仍然成立，请说明理由.

（3）实际应用：如图23，在某次抗台风演习中，船甲在A处，距离指挥中心（O处）北偏西30°，船乙在B处，距离指挥中心南偏东70°，且两船到指挥中心（O处）的距离相等，接到指令后，船甲以60海里/小时的速度向正东方向前进，船乙以80海里/小时的速度沿北偏东50°的方向前进1. 5小时后，指挥中心观测到甲、乙两船分别到达E，F处，此时两船之间的夹角为70°，试求此时两船之间的距离.（可结合（2）的结论）

（4）你能像上题一样将全等三角形应用于实际生活吗？请举例说明.

设计意图  引导学生体会全等三角形在证明线段或角相等、证明线段的位置关系、对图形面积变换和实际应用问题上的作用，启发学生碰到相关问题时能想到寻找对应的全等三角形，以及利用全等三角形解决生活中的实际问题，培养学生的应用意识与创新意识.

上述作业设计具有明显的梯度原则，又依据解题方法进行分类，使每题都具有典型性. 其中各模块的侧重点应有所不同：

“习题演练，自我提升”关注已有的活动经验，突出基础素养的落实;

“归纳总结，自我反思”关注解决问题的过程，突出数学思想的渗透;

“综合应用，自我巩固”关注关键能力的发展，突出应用意识的培养;

“拓展创新，自我突破”关注学生的主体作用，突出创新意识的提升.

同时，内容与中考考点紧密结合，让学生感受知识点的实效性和针对性.

作业批改后的反馈

学生根据自身能力自主选择完成提升型—反思型—应用型—拓展型作业，通过学生课后自主完成、课堂归纳总结、同伴交流提炼的形式进行反馈. 其中提升型和反思型作业面向全体学生课后完成，应用型和拓展型作业则先独立思考后以小组为单位交流合作完成.

由表2：四次作业的正确率基本由高到低，体现了难度的阶梯设置. 从正确率上看，提升型和反思型作业正确率较高，应用型和拓展型作业正确率相对较低，可见大部分学生具备一定的几何直观与推理能力，但部分学生应用意识和创新意识相对欠缺，在今后的教学中应重点关注这类学生. 另外，要坚持“下要保底，上不封顶”的原则，对于本次反馈出的薄弱生以及尖子生，后续将继续对应进行托底以及培优工作.

作业质量与成效分析

（一）作业质量

结合问卷调查，从以下几方面对作业质量进行分析：从作业量上看，题量基本控制在6题以内;从完成时间上看，学生完成作业时间大部分为20分钟;从作业难度上看，学生认为作业难度适中，大多数题可以从上一题的微小变化中找到思路;从学习兴趣上看，学生认为能在完成作业的过程中体会到成功的快乐，在交流环节中能和同伴擦出更多思维的火花，极大促进了学习数学的兴趣.

（二）成效分析

以初二甲、乙两班作为实验对象，在新课结束后的前测中两班水平相似，而后实验班安排阶梯式单元提升作业，对照班仍使用传统作业. 实施期间，每天统计两班作业情况，关注作业的布置、批改与反馈，保证有效实施. 后测安排在提升作业完成并讲解后，两班学生以同等标准作答，统计两班的平均分、优秀率，对比各层次人数的变化，分析阶梯式单元提升作业实施对学习效果的影响.

将实验班前测与后测成绩进行比对分析可知：实验班在平均分有所提高，标准差升高，说明学生成绩的波动幅度大，变化显著，并成正态分布.

由表4可知：相关系数为0. 615，p=0.000<0.05，说明实验班学生前测与后测成绩具有相关性.

观察表5每个分数段对应的学生人数、平均分、优秀率，可见在单元新课结束时实验班和对照班学生在掌握知识方面和综合能力方面都相对良好，水平相当.

由表6可知：经过阶梯式单元提升作业的训练，实验班得分在90以下的人数减少，得分105～120的人数得到大幅增长，平均分和优秀率都明显高于对照班，说明实验班相较对照班总体学习状态提升明显，核心素养与关键能力有明显发展，基于学情的阶梯式单元提升作业取得了良好的实验效果.

总结与展望

在“双减”的背景下，作业的优化设计必定会成为一线教师需要认真思考的长久课题. 本文提出的基于学情的阶梯式单元提升作业设计也仅仅只是笔者短期内的实践所得，具体长远的成效以及在数学其他领域的应用作用仍需时间进行考证与探究，我们将继续完善“减负提质”的作业设计，依据学科学习目标要求，学生学情实际，不同学习期待水平，内容整合的程度、要求和形式的多样性，探索设计促進核心素养发展、以学生学习为中心，基于单元大问题、大任务的问题情境，进一步关注目标与内容、关注进阶与组合、关注结构与本质、关注迁移与创新，将减负增效真正落到实处.

参考文献：

[1]王华. 基于课标与学生认知特点的初中数学课后作业设计研究[D]. 上海师范大学，2019.

[2]方晶. 基于自我诊断的初中数学阶梯式作业设计的研究[D]. 上海师范大学，2019.