培养抽象能力必须经历两个过程

顾祥芳，杜育林

摘要：抽象能力是初中阶段数学课程要培养的学生核心素养的主要表现之一，主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。抽象能力是在过程中形成和发展起来的，这个过程主要指数学知识的形成过程和应用过程。其中，数学知识的形成过程主要包括数学概念的建立过程和数学公式、运算法则、图形性质等数学规律的探究过程。

关键词：抽象能力;数学知识;形成过程;应用过程

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）指出，抽象能力是初中阶段数学课程要培养的学生核心素养的主要表现之一，并对抽象能力做了进一步解释：“抽象能力主要是指通过对现实世界中数量关系与空间形式的抽象，得到数学的研究对象，形成数学概念、性质、法则和方法的能力。”新课标中共提及“抽象”60余次，可见新课标对于抽象能力培养的重视程度。我们认为，抽象能力是在过程中形成和发展起来的，而这样的过程主要包括数学知识的形成过程和应用过程。

一、数学知识的形成过程

这里的数学知识泛指数学概念、数学公式、运算法则、图形性质等。其中，数学概念是重要的基础知识，是学生探究学习数学公式、运算法则、图形性质等知识（我们称之为“数学规律”）的基础。所以，数学知识的形成过程主要包括数学概念的建立过程和數学规律的探究过程。

（一）数学概念的建立过程

数学概念是人脑对现实对象数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式。决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素都是“概念要明确”。基于培养学生抽象能力的视角，可以把数学概念的建立过程分为“问题情境—归纳特点—概括本质”三个阶段。

例如，“一元二次方程”概念的建立过程：

首先，创设如下问题情境：

（1）某产品原来每件售价为2元，经过两次涨价后每件售价为3元。设该产品平均每次的涨价率为a，根据问题中的等量关系，可列出方程：____________________________。

（2）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小3，这个两位数比个位上的数字与十位上的数字之积的3倍小10。如果设个位上的数字为x，可列出方程：____________________________。

（3）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而斜东北，与乙会。问：甲乙行几何？”意思是：“甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度是7，乙的速度是3。乙向东行走，甲向南走了10步后向东北行走，与乙相遇。问：相遇时，甲、乙分别走了多少？”设他们相遇时所用的时间为t，则相遇时甲共走了____________________________，乙共走了____________________________;为了求出相遇时，甲、乙分别走了多少，可列出方程：____________________________。

[设计意图：为了让学生“能根据现实情境理解方程的意义”，并且为“抽象—概括”能力的形成提供基础素材，按照新课标提出的“现实性”要求，设计了这三个问题。问题（1）与学生的生活现实密切相关，问题（2）是基于“数学现实”而确定的，问题（3）是从数学史实出发选取的。对于问题（1）和（2），学生通过分析问题中的已知量、未知量，以及已知量和未知量之间的数量关系，不难列出方程。问题（3）是求甲、乙分别走了多少路程，设相遇的时间为t，这样只要求出t，就不难得到甲、乙分别走的路程。问题（3）的解答过程体现了转化和数形结合的思想，同时可以对学生进行数学文化的熏陶教育。]

接着，引导学生归纳特点：

观察下面三个方程，说出它们的特点。①2a2+4a-1=0，②3x2-2x-40=0，③2t2-7t=0。

[设计意图：“抽象是从许多事物中舍弃个别的、非本质的属性，得到共同的、本质的属性的思维过程，是形成概念的必要手段。”为了在“一元二次方程”概念建立的过程中，培养学生观察分析、思考发现、抽象、归纳等能力，设计了这一问题。学生经过观察、思考，会得到三个方程的诸多特点，如：（1）都含有未知数;（2）表示未知数的字母的含义不同——产品的涨价率，个位上的数字，甲、乙相遇所用的时间;（3）方程左边的项数不一样，依次为三项、三项、两项;（4）最高项的次数都是2;等等。]

最后，引导学生概括本质：这三个方程的本质特征是什么。

[设计意图：任何事物都有质和形两个方面，“质”是一个事物成为它自身并区别于另一个事物的内在规定性，是事物存在的根据，是事物的根本性质;“形”则是外在的表现形式。概念教学，就是要引领学生透过现象抓本质。学生在“归纳特点”环节得到的这些特征，既有本质的特征，也有非本质的特征，需要剔除非本质的特征，保留本质的特征。这个“剔除—保留”的过程本质上就是一个“抽象—概括”的过程。在归纳的基础上，鼓励学生概括出一元二次方程的本质特征，逐步形成透过现象抓取事物本质特征的能力，发展抽象能力。]

这样的教学设计下，学生不仅能掌握一元二次方程的概念，还能感受和领悟到隐含于概念形成过程中的数学思想和方法，体会数学的本质，更重要的是，发展了抽象能力。数与代数领域中很多数学概念的教学，教师都可以带领学生在这样的过程中建立数学概念、培养抽象能力。

事实上，图形与几何领域中的一些数学概念，如平行四边形、正多边形等，实际上也是经历“问题情境—归纳特点—概括本质”三个阶段而建立起来的。教学时，教师可以给出几个图形，引导学生在观察图形特征的基础上通过数学思考形成感性认识，然后对图形进行分析，并抽象概括出图形的本质，最后给出规范的数学定义。

（二）数学规律的探究过程

在数学规律的教学中，教师应根据具体数学规律的特点，设计能让学生经历抽象过程的系列问题。学生在思考、探索这些问题的过程中，既能发现数学规律，又能培养抽象能力。

例如，“轴对称性质”的探究过程：

1.把一张纸片对折（如图1①所示），扎一个小孔（如图1②所示）;然后展开铺平，记得到的两个小孔为点A与A′，折痕为MN（如图1③所示）;连接AA′交MN于点O（如图1④所示）。

2.如果将纸片沿MN重新折叠，线段OA与OA′有怎样的大小关系？线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？说明理由。

3.把一张纸对折后扎出三个不在同一条直线上的小孔，把纸片展开铺平，把得到的三组对应点分别记为A与A′、B与B′、C与C′，折痕记为MN。分别连接AB、BC、CA、A′B′、B′C′、C′A′，在△ABC的一条边上任取一点D（如图2所示），你能说出与点D关于直线MN成轴对称的点D′的位置吗？用扎孔的方法验证你的结论。

4.连接DD′，交MN于点P，线段DD′与直线MN有怎样的位置关系？说明理由。

[设计意图：整个探究由四个活动组成，按由简单到复杂、由一个点到图形上的一般点的顺序设计。对于探究活动1、2，首先让学生通过实际操作，发现点A与A′关于直线MN对称的关系，并猜測出OA=OA′，AA′⊥MN;然后引导学生通过独立思考和合作交流，说明以上猜测是合理的。这一过程既要运用合情推理，也包含演绎推理。探究活动3旨在让学生通过实际操作，理解用折叠、扎孔的方法展开后得到的△ABC与△A′B′C′关于折痕MN成轴对称。D是△ABC边上的任意一点，应让学生利用合情推理，感悟点D关于MN的对称点的位置。在图2中，点D在线段BC上，其关于直线MN成轴对称的点D′应该在线段B′C′上。探究活动4意在把结论推广到成轴对称的两个图形的一般情况，从而概括出轴对称的基本性质。]

事实上，大部分数学规律都可以让学生在经历数学化的过程中自主发现。这样的教学设计，不仅能让学生探究得到数学规律，而且有利于学生抽象能力、概况能力、语言表达能力等多种素养的发展与提升。

二、数学知识的应用过程

新课标在“教材编写建议”中提出，运用数学知识解决实际问题，（应）适当体现“问题情境—建立模型—求解验证”的过程。这样的过程，一方面能帮助学生更有效地理解知识与方法，另一方面，有助于学生积累活动经验，增强应用意识，锻炼解决问题的能力。这样的过程，最典型的案例莫过于欧拉解决“哥尼斯堡七桥问题”。我们一线教师即使做不出如此经典的案例，也应积极探索。

例如，在学生学习了“二次函数的性质”后，可以让学生通过解答类似如下的“图形最大面积”问题，来体会数学知识的应用过程，进而培养学生的抽象（建模）能力。

用长度为20 m的金属材料制成如图3所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形。当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积。

解答本题用到的知识主要有等腰三角形和矩形的性质、二次函数的解析式及性质等。初中阶段，求最大（小）值的问题常利用二次函数的性质解答。解决本题的关键是正确确定图形的面积与矩形长或宽之间的函数关系式。比如，可设矩形与等腰直角三角形的公共边长为2x m，则有图形的面积S=2x（10-2x-2x）+x2=（1-4-22）x2+20x。

对此，学生解答本题时有两个地方容易出错：

一是确定自变量x的取值范围。教学中，引导学生这样推导：因为矩形相邻边长为10-（2+2）x，而边长是正数，所以10-（2+2）x>0，解得x<10-52。

二是判断x=-b2a=30-202是否在自变量的取值范围内，即判断30-202是否小于10-52。教学中，引导学生这样分析：要证30-202<10-52，根据不等式的性质，即要证20<152，即要证400<450，这显然成立。

从本题的解答过程看，从求“金属框围成图形的面积”问题，抽象得到“二次函数”模型是最为关键的一步。教师引导学生得到这个模型的过程，就是学生应用数学知识解决实际问题的过程，也是学生抽象能力发展的过程。

数学教育的根本目的在于让学生会抽象（能把握事物的本质），会推理（能理清事物的关系），会建模（能发现事物中的规律），从而提高学生的数学素养。在数学知识形成以及应用数学知识解决实际问题的过程中，教师都要设法带领学生充分地经历，透过现象，看到本质，从而培养学生的抽象能力。

参考文献：

[1] 薛茂芳.数学概念及其教学（修订版）[M].北京：光明日报出版社，2013.

[2] 李树臣.在概念的形成过程中培养抽象能力——以二次函数概念的建立过程为例[J].中小学数学（初中版），2021（9）.

[3] 史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016.

[4] 张金良.解密数学抽象探索教学策略[J].数学通报，2019（8）.

[5] 徐利治.数学方法论选讲[M].武汉：华中工学院出版社，1983.