高中数学教学中数学文化的融入
2022-05-30孙静
孙静
摘要:结合《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》对数学文化的定义和汪晓勤教授对数学文化的分类,在高中数学教学中,可以从三个方面融入数学文化:追本溯源,凸显数学文化的科学价值;建立模型,展现数学文化的应用价值;感受数学美,强化数学文化的审美价值。
关键词:数学文化;高中数学;数学史;数学模型;数学美
《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“课标”)指出:“数学承载着思想和文化,是人类文明的重要组成部分。”“精选课程内容……注重数学文化的渗透。”②“教师应有意识地结合相应的教学内容,将数学文化渗透在日常教学中,引导学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术、社会发展中的作用,感悟数学的价值,提升学生的科学精神、应用意识和人文素养;将数学文化融入教学活动,还有利于激发学生的数学学习兴趣,有利于学生进一步理解数学,有利于开拓学生视野、提升数学学科核心素养。”③笔者所在学校为艺术特色高中,学生数学学习的兴趣不高、能力较弱。因此,笔者在数学教学中,格外重视渗透、融入数学文化。
课标还指出:“数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学相关的人文活动。”④由此,汪晓勤教授将数学教学中数学文化的内涵分成知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐和多元文化五个维度。其中,“知识源流”是指某个知识点的历史发展过程以及相关的人物、事件、思想等;“学科联系”是指数学与其他知识领域(科学技术、社会科学、人文艺术等)之间的关联;“社会角色”是指数学对人类文明进步、社会发展所起的重要作用;“审美娱乐”是指数学的美和趣味;“多元文化”是指不同文明、不同地域在同一数学课题上的成就和贡献。结合课标定义的整体包容性和汪教授分类的具体指向性,笔者参考课标给出的数学的三大价值(科学价值、应用价值和审美价值),在教学实践中,从三个方面融入数学文化。
一、追本溯源,凸显数学文化的科学价值
数学的发展历程是数学文化的基本方面。数学教学中,教师可以基于(本质上是一种重构)数学史,引导学生追本溯源,经历体验(不是简单讲授或告知,而是引发思考与实践)知识产生的过程,从而凸显数学文化的科学价值,帮助学生理解数学知识,同时提振学习信心,培养探索精神。
例如,教学《数系的扩充——复数的概念》一课时,笔者首先出示图1,让学生谈一谈对数系扩充的认识。学生回顾数的发展过程,认识到现实需要推动着数系不断扩充。接着,笔者让学生在特定范围内解方程:(1)x+2=0,x∈N;(2)3x-2=0,x∈Z;(3)x2-2=0,x∈Q。学生进一步回顾数的发展过程,认识到数学需要(保持逆运算的封闭性)推动着数系不断扩充。然后,笔者请学生帮助数学家卡尔丹解决“将10分成两部分,使两者乘积为40”这一问题,使学生形成与数学家一样的认知冲突,从而为数系再次扩充做好铺垫。
这里,基于数学史追本溯源地思考,让学生经历了复数概念的产生过程,理解了复数的内涵本质和基本价值,并为进一步学习复数的重要性质和更多作用打下基礎。
再如,教学《基本不等式》一课时,引出问题“两个正数a、b的算术平均数和几何平均数有怎样的大小关系”后,笔者引导学生基于a、b的几何意义,即长度分别为a、b的线段,寻找a+b2、ab的几何意义。学生一开始没有头绪,后来联系射影定理,构造出下页图2,从而发现a+b2≥ab(当且仅当a=b时,等号成立)。这时,笔者介绍:这样的构图方法源于古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷6命题13中给出的两条已知线段的几何中项的作法。然后,笔者引导学生升次,得到a2+b22≥ab,再引导学生寻找a2+b22、ab的几何意义。学生一开始构造了面积分别为a2、b2的正方形和面积为ab的长方形,但是得不到a2+b22和ab的大小关系。后来联系勾股定理,构造出下页图3,从而发现a2+b22≥ab(当且仅当a=b时,等号成立)。这时,笔者介绍:“这样的构图就是我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的‘弦图。它不仅有丰富的内涵,而且很漂亮,像一个风车,因而被在北京召开的第24届国际数学家大会选为会标图案。”
数学史上,人们对代数关系的认识往往源于几何图形,因为“很多事情单凭抽象思维不易明白,加上直观形象便清晰得多了”。因此,这里利用几何意义展开的探究,其实也是一种基于数学史的追本溯源(同时呈现了多元文化的碰撞),让学生经历了基本不等式的发现过程,使学生更好地理解基本不等式的本质,并培养了探索精神和逻辑推理、直观想象等核心素养。
二、建立模型,展现数学文化的应用价值
建立数学模型解决实际问题(包括其他学科问题),是数学文化内涵的学科联系维度和社会角色维度的集中体现。数学教学中,教师应努力跨越时空和领域,拓宽视野,寻找各种素材,创设问题情境,引导学生建立数学模型解决实际问题,从而展现数学文化的应用价值,让学生体会数学在科学技术、社会发展中的作用。
例如,教学人教A版高中数学必修第一册《函数模型的应用(二)》一节时,笔者改造例题并整合活动素材,引导学生通过已知数量关系或实验数据(或科学理论),建立函数模型,解决实际问题。
笔者首先出示教材例5:“假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一,每天回报40元;方案二,第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三,第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。请问:你会选择哪种投资方案?”引导学生由三种方案中天数与当天的回报的关系建立三个函数模型:y=40(x∈N*),y=10x(x∈N*),y=0.4×2x-1(x∈N*)。由此作图(或列表)分析三个函数模型的增长情况,发现初始值小的函数增长速度快。进而列表计算前若干天累计的回报,得到在不同的投资天数限制下选择不同的投资方案的结果。
笔者接着出示教材例6的情境:“某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x (单位:万元)的增加而增加,但奖金不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%。”引导学生分析哪种类型的函数可能符合情境中的建模要求,帮助学生充分认识已学的各种类型的函数及其简单组合的基本性质(主要是增减和范围情况)。
笔者最后出示教材数学建模活动的问题:“中国茶文化博大精深。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明,某种绿茶用85 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感。那么,在25 ℃室温下,刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?”引导学生发现,需要建立茶水温度随时间变化的函数模型解决问题。由此,笔者引导学生分析这里的建模与前面的有什么不同:没有给出精确的或大致的数量关系(也没有已知的科学理论可以运用),只能通过实验收集数据,再利用数据建立(拟合)模型(也即建立科学理论)。然后,笔者引导学生设计实验方案:制作85 ℃的茶水,每隔1分钟测量一次水温;将收集的数据制成散点图;观察散点图并考虑茶水温度降到室温就不再降的事实,选择可以拟合数据的函数类型;由收集的数据,通过待定系数法,确定函数的解析式(有关系数可以先利用多组数据求出多个值,再取平均值,以减小误差)。
再如,教学人教A版高中数学必修第二册《事件的相互独立性》一节时,笔者选取《三国演义》中的一些故事作为素材,引导学生基于经验假设建立概率模型,解释有关现象。
首先,笔者介绍背景并描述现象:“《三国演义》中有很多神射的表现,如吕布辕门射戟,但是打不赢就放乱箭的例子也比比皆是。孙坚武艺高强,但最终却死于乱箭之中。”让学生解释原因。学生讨论觉得是孙坚运气不好(即遇到小概率事件)或力战疲惫所致。笔者引导学生运用概率知识计算到底是不是小概率事件:一般士兵的射箭技术肯定没有神射手好,假设其单次射中的概率为0.1,那么其单次不中的概率是0.9;由相互独立事件概率的乘法公式,其连续两次射不中的概率是0.9×0.9=0.81;以此类推,其连续100次射不中的概率为09100≈0.00003,那么其连续100次至少射中1次的概率约为1-0.00003=99.997%;即使要求至少射中3次,概率依然有1-C3100×0.13×0.997≈99.41%。对于这一计算结果,学生感觉震惊,发现冷兵器时代与其费力培养神射手,不如让一般士兵乱箭齐发——当然,真实的情况下,也要考虑弓箭是否够用。
在此基础上,笔者让学生联想《三国演义》中其他与射箭有关的经典故事。很多学生马上想到诸葛亮草船借箭。笔者顺势描述现象并提出问题:从《三国演义》中的描写看,当时江上大雾弥漫,士兵放箭只能闻声而去,你能试着计算概率,回答“诸葛亮能否如书中所说的借到10万箭”这一问题吗?学生相互讨论,普遍认为,当时环境恶劣,单次射中的概率估计比01还要低很多;要借到10万支箭,起码要射100万支箭;当时只有1万名弓箭手,每人起码要射100支箭;无论是总箭数,还是每人射的箭数,恐怕都很难实现。进而,通过具体计算,明确结果为小概率事件。
三、感受数学美,强化数学文化的审美价值
数学不仅有实用价值,而且有审美和激趣的价值,能给人以感官和智力上的享受。数学美和趣味是数学文化中最能打动人、最具有魅力的方面。广义的数学美包括数学趣味(能给人带来愉悦),可分为简洁美、统一美、对称美、和谐美、奇异美等。数学教学中,教师应努力引导学生从感性到理性,发现和创造数学美,并运用数学美解决问题,从而展现数学文化的审美价值,激发学生的学习兴趣,提升学生的数学直觉。
比如,教学“基本不等式”时,让学生感受“和”“积”“平方和”结构的和谐美;教学“二项式定理”时,让学生感受二项式系数排布的对称美,并引入高尔顿钉板,让学生感受二项式系数和概率分布之间联系的和谐美;教学“平面向量”时,让学生感受向量表示的简洁美;教学“正、余弦定理”时,让学生感受边角关系结构的轮换对称美;教学“球的体积”时,让学生感受圆柱体积、球的体积、圆锥体积之间关系的和谐美;教学立体几何时,引入绘画中的悖论(如埃舍尔的作品),让学生感受以二维视觉效果呈现三维不可能现象的奇异美;教学“函数的奇偶性”时,让学生体验函数图像的对称美,并且展示、设计更多具有对称性的事物、图案;教学“函数的周期性”时,融合单调性,让学生体验螺旋曲线的和谐美,并且展示、设计更多具有螺旋特征的事物、图案;教学“双曲线”时,引入诗歌《悲伤的双曲线》,让学生感受数学与文学结合所产生的奇異美;教学“圆锥曲线”时,让学生感受正多边形、圆、椭圆、双曲线、抛物线渐变的和谐美;教学“斐波那契数列”时,可以发掘黄金分割比例,介绍其广泛的存在和应用,让学生充分感受数学的和谐美。
特别值得一提的是,教学函数或数列的内容时,可以引入或强化迭代或递推的概念,引导学生由此创作具有自相似特征的分形图案,从而感受数学的奇异美。例如,笔者引导学生利用几何画板,从一根竖直的线段出发,进行一次缩放、平移、旋转并一分为二的变换,创作出一个简单的丫形结构(如图4所示);重复进行类似的变换,瞬间创作出一棵规则的树形结构(如图5所示)。
然后,笔者提问:如何让这一美术作品不那么机械、呆板,而更加生动、富于变化呢?在学生自由尝试的过程中,展示自然生长的蕨树(如图6所示)和风中摇曳的小树(如图7所示)等作品,引导学生发现其中的创作方法,从而基于迭代的数学规则,通过改变规则树形的初始结构(如比例关系、位置、角度等),尝试创作自己的作品。
同时,也可通过“现场创作+原理解析”的方式,让学生领略音乐作品中的数学美。实际上,用数学方法的谱曲就是用等比法则定义12个数,让这12个数对应于不同频率的声音,再将这12个音按一定的规律组合编排的过程;而将适当编排的曲子在计算机上演奏,便会产生美妙动听的音乐。
上述做法实际上是把数学和美术、音乐等艺术结合起来,融入数学文化,让学生充分感受数学美。这样的思路实际上大有可为,如引导学生充分探究如何基于数学知识作画、创作音乐,且对艺术特色高中的学生尤其适用。
此外,还要引导学生运用数学美的直觉解决问题。例如:求sin220°+cos250°+sin 20°·cos 50°的值。对此,可以引导学生由对称美的直觉,构造对称式cos220°+sin250°+cos 20°·sin 50°,进而发现:前式加后式等于2+sin 70°,前式减后式等于-12-sin 70°。从而很快得到前式等于34。这一解法非常巧妙,正是数学美激发思维的表现。