深思考 巧转化 重积累

陈缓

纵观2022年全国各地的中考数学试题，考点丰富、形式多样的圆仍是各地区考查的重头戏之一。其中，对圆的相关概念和性质、与圆有关的位置关系、圆的内接多边形等知识的考查频频出现。下面，本文精选2022年的部分中考题进行剖析，以帮助同学们更好地了解圆的中考命题动向，掌握基本解题思路和方法。

一、圆的有关概念和性质

例1 （2022·四川泸州）如图1，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延長线交⊙O于点E。若AC=[42]，DE=4，则BC的长度是（ ）。

A.1 B.[2] C.2 D.4

【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，从而得到BC=2OD。要求OD的长度，不妨设OD=x，则AO=OE=4-x，BC=2x。在Rt△AOD中，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2，即（[22]）2+x2=（4-x）2，求出x的值则可以进一步求出BC。

解：∵OD⊥AC于点D，OE是半径，

∴∠ODA=90°，

AD=DC=[12]AC=[12]×[42]=[22]。

在△ABC中，OA=OB，AD=DC，

∴OD是△ABC的中位线。

∴OD∥BC，OD=[12]BC。

设OD=x，则AO=OE=4-x，BC=2x。

在Rt△AOD中，∠ODA=90°，由勾股定理可得AD2+OD2=AO2。

∴（[22]）2+x2=（4-x）2，解得x=1。

∴BC=2x=2。

故选C。

【点评】本题巧妙地将圆与三角形的相关知识结合起来，求圆中弦的长度，重点考查垂径定理、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识。解决本题的关键是能够根据勾股定理列出方程，再结合三角形中位线的性质求解。

二、与圆有关的位置关系

例2 （2022·浙江绍兴）如图2，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C、D，∠B=90°，连接OD、AD。

（1）若∠ACB=20°，求[AD]的长（结果保留π）；

（2）求证：AD平分∠BDO。

【分析】（1）连接OA，已知∠ACB=20°，根据圆周角定理，可得∠AOD=40°，再利用弧长公式求得[AD]的长。

（2）根据AB切⊙O于点A，∠B=90°，可得OA∥BC，则∠OAD=∠ADB，另一方面，由OA=OD，得∠OAD=∠ODA，从而得AD平分∠BDO。

解：（1）如图2，连接OA。

∵∠ACB=20°，[AD]=[AD]，

∴∠AOD=2∠ACB=2×20°=40°。

∴[AD]的长为[40×π×6180]=[4π3]。

（2）∵AB与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AB。

∴∠OAB=90°。

∴∠OAB+∠B=90°+90°=180°。

∴OA∥BC。

∴∠ADB=∠OAD。

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA。

∴∠ODA=∠ADB。

∴AD平分∠BDO。

【点评】本题是一道有关直线与圆的位置关系的问题，主要考查弧长公式、圆周角定理、切线的性质等知识。同学们要注意：遇到切线时，一般要作过切点的半径，以便利用切线的性质定理来求解。

三、圆的内接多边形

例3 （2022·江苏常州）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC=45°，AC=[2]，则⊙O的半径是 。

【分析】如何巧妙地利用∠ABC=45°这个条件呢？连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD。根据同弧所对的圆周角相等，可得∠ADC=45°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠CAD=90°，然后在Rt△ACD中，利用等腰直角三角形的性质求出CD的长，从而求出⊙O的半径。

解：连接CO并延长，交⊙O于点D，连接AD。

∵[AC]=[AC]，

∴∠ADC=∠ABC=45°。

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CAD=90°。

∴AD=AC=[2]。

在Rt△ACD中，∠CAD=90°，由勾股定理可得CD2=AC2+AD2。

∴CD=[22+22]=2。

∴⊙O的半径是1。

【点评】本题是求三角形外接圆半径的问题，重点考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理及其推论，以及转化思想的应用。解决本题的关键是能根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线，从而实现有效的转化。

例4 （2022·四川自贡）如图4，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD=20°，则∠BCD的度数是（ ）。

A.90° B.100° C.110° D.120°

【分析】根据AB是⊙O的直径，可以得到∠ADB=90°，再根据∠ABD=20°和直角三角形两锐角互余，可以得到∠A的度数，最后根据圆内接四边形对角互补，即可得到∠BCD的度数。

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°。

∴∠A+∠ABD=90°。

∴∠A=90°-∠ABD=90°-20°=70°。

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BCD+∠A=180°。

∴∠BCD=180°-∠A=180°-70°=110°。

故选C。

【点评】本题是一道圆内接四边形中求内角度数的问题，考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理的推论、直角三角形两锐角互余等。解决本题的关键是能够审清题意，明确角之间的数量关系。同学们可以开动脑筋，继续想一想不同的方法，你一定会有更多的收获和体会。

在近几年各地的中考中，圆的有关性质，如垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质等，一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题仍是中考命题的热点。同学们要学会不断地总结，提炼方法和经验，将问题化隐为显、化难为易，进而巧妙地解决。

（作者单位：江苏省南京市致远初级中学）