由一道中考题说起

吴凡

圆是初中数学几何学习中的重要图形之一，也是中考的考查热点。本文由一道中考真题说起，深入剖析和总结归纳，以帮助同学们加深对圆的理解和掌握。

例题 （2022·江苏南京）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，BD=CE。过A、D、E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F。

（1）求证：AF⊥BC；

（2）若AB=10，BC=12，BD=2，求⊙O的半径长。

一、分析探究

本题考查三角形和圆的相关知识，涉及全等三角形的性质及其判定、勾股定理、垂直平分线的定义、等腰三角形“三线合一”、轴对称图形等知识。解题的关键是要弄清已知条件是哪些，隐含条件有哪些，我们可以运用哪些定义或定理来进行证明和求解。我们先来剖析题目中的条件（如图2）。

二、解法列举

第（1）问是证明两条线的垂直关系，

∵AB=AC，∴∠B=∠C。

证法一（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。

在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴AD=AE。

在△AOD和△AOE中，

∵AD=AE，AO=AO，OD=OE，

∴△AOD≌△AOE（SSS）。

∴∠DAO=∠EAO。

在△AFD和△AFE中，

∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，AF=AF，

∴△AFD≌△AFE（SAS）。

∴∠DFA=∠EFA。

又∵∠DFA+∠EFA=180°，

∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。

证法二（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。

由证法一可证△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠DAO=∠EAO。

∴∠FOD=∠FOE。

在△OFD和△OFE中，

∵OD=OE，∠FOD=∠FOE，OF=OF，

∴△OFD≌△OFE（SAS）。∴∠DFA=∠EFA。

又∵∠DFA+∠EFA=180°，

∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。

证法三（两次全等+等腰三角形“三线合一”）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。

由证法一可证△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠AOD=∠AOE。

∴△ADE是等腰三角形。

又∵∠DAO=∠EAO，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

证法四（一次全等+垂直平分线的定义）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。

由证法一可证△ABD≌△ACE，∴AD=AE。

又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。

∴AF⊥BC。

证法五（一次全等+垂直平分线的定义）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。

∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD。

在△ABE和△ACD中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，

∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴AD=AE。

又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。

∴AF⊥BC。

证法六（两次全等+等腰三角形三线合一）：如图4，延长AF交⊙O于点M，连接AD、AE、MD、ME。

由证法一可证△ABD≌△ACE，∴AD=AE。

∵AM是⊙O的直径，

∴∠ADM=∠AEM=90°。

在Rt△ADM和Rt△AEM中，

∵AD=AE，AM=AM，

∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL）。

∴∠DAM=∠EAM。

∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。

又∵∠DAF=∠EAF，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

证法七（一次全等+圆的相关知识+等腰三角形“三线合一”）：如图4，延长AF交⊙O于M点，连接AD、AE、MD、ME。

由证法一可证△ABD≌△ACE，

∴AD=AE。

∴△ADE是等腰三角形，[AD]=[AE]。

∵AM是⊙O的直径，

∴[ADM]-[AD]=[AEM]-[AE]，∴[DM]=[ME]。

∴∠DAM=∠EAM。

∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，

∴AF⊥DE，即AF⊥BC。

第（2）問是运用勾股定理或者相似来建立方程求圆的半径，请看解法：

解法一（勾股定理）：如图3，在△ABC中，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=[12]BC。

∵AB=10，BC=12，∴BF=6。

在Rt△ABF中，∠AFB=90°，

∴AF=[AB2-BF2]=[102-62]=8。

设⊙O的半径为r，则在Rt△DOF中，

DF=BF-BD=6-2=4，OF=AF-AO=8-r。

∴ DF2+OF2 =DO2，

即  42+（8-r）2=r2，解得r=5。

解法二（勾股定理）：如图4，延长AF交⊙O于M点，连接AD、DM。

由解法一可得AF=8。

在Rt△ADF中，∠AFD=90°，

∴AD=[AF2+DF2]=[82+42]=[45]。

设⊙O的半径为r，

∵AM是⊙O的直径，∴∠ADM=90°，

∴AM2-AD2=FD2+MF2，

即（2r）2-（[45]）2=42+（2r-8）2，解得r=5。

此类问题在圆的证明、计算求解中属于常见问题，同学们需要先看懂图形，会识图，找出其中的基本图形，结合题目中的已知条件，进行知识串联，挖掘出隐藏条件，再分析所要证明的结论或所要求解的线段长度，思考证明该结论或要求解的未知量需要哪些角度，最后借助相关定理、定义、判定、性质等知识解决问题。

（作者单位：江苏省南京市致远初级中学）