与“图形的密铺”相会

刘佳

如图1，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙，也没有重叠地铺成一片，叫作图形的密铺。这样的图案能给我们一种美的享受。

作为初中生，我们在感受这些美丽图案的同时，要学会从中发现、研究一些数学问题。例如，这些美丽的图形都是由哪些单独的图形进行拼接而成的呢？为什么这些图形能进行密铺？是不是所有的图形都能进行密铺？接下来，我们就去“会一会”这些美丽的图形。

一、用边长相同的同一正n边形密铺

问题1 现实生活中，我们经常会看到用正三角形、正方形、正六边形地砖铺设地面的现象，它们能镶嵌成一个平面，应满足什么条件？全等的正五边形能否进行密铺？

【思路分析】因为是相同的图形，所以在拼接的时候只要把相同的边靠在一起即可，是不是只要考虑这些就可以了呢？其实，我们还需要考虑在每一个顶点处若干个正三角形的内角之和或者正方形的内角之和或正六边形的内角之和等于360°。

【设计方案】正三角形和正方形的密铺很容易想象，因为有公共顶点的若干个正三角形或正方形的内角之和等于360°。正六边形的每个内角是120°，因此，我们可以想象在每个顶点处有3个正六边形的内角。

全等的正五边形的每个内角是108°，而[360108]不是整数，所以正五边形不能进行密铺。

问题2 哪种边长相同的正多边形地砖能够密铺地面？

【思路分析】如果使用同一种正多边形，那么就要满足在一个顶点周围有整数个正多边形的角围成360°。

【设计方案】正n边形的每个内角等于[（n-2）×180°n]。如果设在一个顶点周围有k个正n 边形的角，而这些角的和应为360°，所以有k·[（n-2）×180°n]=360°，由此可以化为（n-2）（k-2）=4，所以n-2一定是4的因数。因为4的因数只有1、2、4，所以n-2=1或n-2=2或n-2=4，解得n=3或n=4或n=6。也就是说，相同的正多边形作平面镶嵌，只有三种情况能密铺：正三角形、正四边形和正六边形。

二、用边长相同的正多边形组合密铺

问题3 用边长相同的正三角形、正六边形两种地砖组合能够密铺地面吗？

【思路分析】要使这两种地砖组合能够密铺地面，就必须满足：有公共顶点的若干个正三角形的内角与若干个正六边形的内角的和等于360°。

【设计方案】假设在公共顶点处有m个正三角形和n个正六边形，可得方程60°m+120°n=360°。这个二元一次方程的解必须是正整数，可解得[m=4，n=1，]或[m=2，n=2。]

我们可以拼出如图2所示的密铺图形。

问题4 用边长相同的正五边形和正十边形两种地砖组合能够密铺地面吗？

【思路分析】参照上面的方法，假设在公共顶点处有x个正五边形和y个正十边形，可得方程108°x+144°y=360°，这个二元一次方程的正整数解为[x=2，y=1。]但能否保证每个顶点处都能拼成360°呢？

【设计方案】对于正五边形与正十边形的组合，尽管其内角能够围绕一点拼成360°，但不能扩展到整个平面。如图3，当在A、B两点处密铺时，点C处则无法实现密铺。

問题5 在边长相同的正三角形、正方形、正六边形地砖中，选择哪些地砖组合能够密铺地面？（除去问题3中已经研究过的正三角形和正六边形的组合）

【思路分析】这三种图形组合，除了已经研究过的正三角形与正六边形组合，还有正三角形与正方形组合，正方形与正六边形组合，以及正三角形、正方形和正六边形组合。

【设计方案】当边长相同的正三角形与正方形地砖组合时，设在一个顶点周围有m个正三角形的内角和n个正方形的内角，那么这些角的和应满足60°m+90°n=360°，这个二元一次方程有正整数解，即[m=3，n=2。]

当边长相同的正方形与正六边形地砖组合时，设在一个顶点周围有x个正方形的内角和y个正六边形的内角，那么这些角的和应满足90°x+120°y=360°，这个二元一次方程没有正整数解，即边长相同的正方形与正六边形地砖组合无法密铺。

当边长相同的正三角形、正方形、正六边形地砖组合时，设在一个顶点处有a个正三角形的内角、b个正方形的内角和c个正六边形的内角，那么这些角的和应满足条件60°a+90°b+120°c=360°，这个三元一次方程有正整数解，即[a=1，b=2，c=1。]

（作者单位：江苏省南京市江宁区湖熟初级中学）