遇等腰需分类

刘顿

一、遇到边，需分类

例1 （2021·青海）已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足[2a-3b+5] + （2a + 3b - 13）2 = 0，则此等腰三角形的周长为（ ）.

A. 8 B. 6或8 C. 7 D. 7或8

解析：∵[2a-3b+5] + （2a  +  3b - 13）2 = 0，∴[2a-3b+5=0，2a+3b-13=0，]解得[a=2，b=3.]

若以b为底，则三边长为2，2，3；若以a为底，则三边长为2，3，3.

∵2 + 2 > 3， 2 + 3 > 3， ∴等腰三角形的周长为7或8. 故选D.

二、遇到角，需分类

例2 （2021·黑龙江·牡丹江）过等腰三角形顶角的顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角为 .

解析：①如图1，在△ABC中，AC = BC，AD = CD，CD = BD，

∴AD = CD = BD. 设∠A = x°，易得x = 45，

则原等腰三角形的底角是45°.

②如图2，在△ABC中，AB = AC，BD = AD，AC = CD，

∴∠B = ∠C = ∠BAD，∠CDA = ∠CAD.

∵∠CDA = 2∠B，∴∠CAB = 3∠B.

∵∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∴5∠B = 180°，∴∠B = 36°，

∴原等腰三角形的底角為36°. 故应填45°或36°.

三、遇到高，需分类

例3 等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，试求顶角的大小.

解析：△ABC是等腰三角形，且∠BAC为顶角，CD是腰AB上的高.

（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图3，∠ACD = 50°，则∠BAC  = 40°.

（2）当等腰三角形是钝角三角形时，分两种情形：

如图4，当∠BCD = 50°时，∠B = 40°，∴∠BAC = 180° - 2∠B = 100°；

如图5，当∠ACD = 50°时，∠CAD = 40°，∴∠BAC = 180° - ∠CAD = 140°.

故这个等腰三角形顶角的度数为100°或140°或40°.

四、遇到中线，需分类

例4 在△ABC中，AB = AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24 cm和30 cm两个部分，求三角形的三边长.

解析：设三角形的腰AB = AC = x，如图6，

若AB + AD = 24 cm，则x + [12]x = 24，解得x = 16.

∵△ABC的周长为24 + 30 = 54 （cm），

∴三边长分别为16 cm、16 cm、22 cm.

若AB + AD = 30 cm，则x + [12]x = 30，解得x = 20.

∵周长为24 + 30 = 54 （cm），∴三边长分别为20 cm、20 cm、14 cm.

∵16 + 16 > 22，14 + 20 > 20，

∴三角形的三边长分别是16 cm、16 cm、22 cm或20 cm、20 cm、14 cm.

五、遇到垂直平分线，需分类

例5 等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，求此等腰三角形的顶角.

解析：当等腰三角形的顶角为锐角时，如图7，

∵EF为AB的垂直平分线，∴∠AEF = 90°.

∵∠AFE = 40°，∴∠A = 50°.

当等腰三角形的顶角为钝角时，如图8，

∵EF为AB的垂直平分线，∴∠AEF = 90°.

∵∠AFE = 40°，∴∠EAF = 50°，

∴∠BAC = 180° - 50° = 130°.

综上所述，此等腰三角形的顶角为50°或130°.

分层作业

难度系数：★★★★ 解题时间：8分钟

在△ABC中，∠ACB = n°（0 < n < 180），点D，E在直线AB上，且AD = AC，BE = BC，试用含n的式子表示∠DCE的度数．