概率易错题面面观

刘宇峰

忽视等可能性

例1 把3颗算珠放在计数器的3根插棒上构成一个数字，例如，图1摆放的算珠表示数300。现将3颗算珠任意摆放在这3根插棒上。求构成的数是三位数的概率。

【错解】3颗算珠，3根插棒，我们将数字一一有序列举出：

情况1：将3颗算珠放百位上，只有一种结果，表示数300；

情况2：将2颗算珠放百位上，剩下1颗有两种放法，放在十位上，表示数210，或放在个位上，表示数201；

情况3：将1颗算珠放百位上，剩下2颗有三种放法，都放在十位上，表示数120，或都放在个位上，表示数102，或十位、个位上各放一个，表示数111；

情况4：百位上不放，有四种放法，3颗算珠都放在十位上，表示数30，或十位上放2颗，个位上放1颗，表示数21，或十位上放1颗，个位上放2颗，表示数12，或都放个位上，表示数3。

共有10种结果，其中构成三位数的结果有6种，所以构成的数是三位数的概率是6/10=3/5。

【分析】错解一一有序地列举出构成的数字，初看似乎有道理，但细细研究，我们不难发现，这10种结果不具有等可能性。

【正解】将3颗算珠任意摆放在计数器的3根插棒上，等价于：有3颗算珠，首先放第一颗算珠，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在个位上，有3种等可能放法；接着放第二颗算珠，同样，它可以放在百位上，可以放在十位上，也放在个位上，也是有3种等可能放法；最后放第三颗算珠，它同样有3种等可能放法（百位、十位、个位），画树状图如下：

将3颗算珠任意摆放在这3根插棒上，共有27种等可能的结果，其中构成的数是三位数的结果有19种，所以构成的数是三位数的概率为19/27。

【点评】求概率的前提条件是“等可能性”。一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现。如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。

未能区分“有放回”与“不放回”

例2 为了调动同学们学习数学的积极性，某班组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1、2、3、4分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀。小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率。

【错解】列表如图。

共有16种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种，

所以小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为[216]=[18]。

【分析】隨机抽取两张卡片，相当于先后抽两次，第一次抽到的卡片不放回，再抽第二次。

【正解】列表如图。

共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是“2”和“3”的结果有2种。

所以小明随机抽取两张卡片，两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率为2/12=1/6。

【点评】对于“抽卡片”“摸球”等类型的问题，我们要看清题目条件的叙述是“有放回”还是“不放回”。对于“有无放回”，一是题目条件中明确交代是“有放回”，二是同时“抽”“摸”两次，即暗示“无放回”。“掷骰子”“抛硬币”“摇转盘”等类型的问题，第一次出现的，第二次还有可能出现，相当于“抽”“摸”中的“有放回”。

（作者单位：江苏省东台市五烈镇廉贻中学）