具有1/4对称度量联络的Kenmotsu流形上的(0,2)型对称平行张量场

潘 鹏

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

给定一个Riemann流形, 考虑关于Levi-Civita联络平行的对称(0,2)型张量场, 显然度量张量和度量张量的常数倍均关于Levi-Civita联络平行. 而关于除度量张量的常数倍外, 是否还有其他对称的(0,2)型平行张量场的问题研究已取得一些成果: Eisenhart[4]首次证明了若Riemann流形(M,g)上存在非度量常数倍对称的(0,2)型平行的张量场, 则M是可约的; Levy[5]证明空间型上的对称(0,2)型平行张量场必为度量张量的常数倍. 关于仿射联络空间上对称(或反对称)的(0,2)型平行张量场的存在性和分类问题称为Eisenhart问题. 目前, 该问题在复空间型、 近Kenmotsu流形和Para-contact流形上都取得了一定进展[6-10].

另一方面, 将Levi-Civita联络推广为半对称度量联络和1/4对称度量联络, 考虑关于半对称度量联络和1/4对称度量联络类似的Eisenhart问题. 例如: Chaubey等[11-12]研究了Lorentz流形上关于半对称度量联络平行的对称(0,2)型张量场; De等[13]研究了Para-Sasakian流形上关于1/4对称度量联络平行的对称(0,2)型张量场, 并证明了该张量场必为度量张量的常数倍.而Kenmotsu流形作为非Para-Sasakian情形的一种近切触度量流形, 其上的1/4对称度量联络与Para-Sasakian流形上的1/4对称度量联络有不同的定义与性质. 受上述研究启发, 本文主要研究Kenmotsu流形上关于1/4对称度量联络平行的对称(0,2)型张量场的存在性问题.

设M2n+1为(2n+1)维光滑流形, 如果存在M2n+1上的(1,1)型光滑张量场φ、 1-形式η以及光滑切向量场ξ, 使得对∀X∈X(M)都成立

φ2X=-X+η(X)ξ,

(1)

η(ξ)=1,

(2)

则称M2n+1具有近切触结构(φ,ξ,η), 附着有近切触结构的光滑流形称为近切触流形[14], 记为(M2n+1,φ,ξ,η).进一步, 若近切触流形(M2n+1,φ,ξ,η)上存在Riemann度量g, 使得对∀X,Y∈X(M), 有

g(φX,φY)=g(X,Y)-η(X)η(Y),

(3)

则(M2n+1,φ,ξ,η)称为近切触度量流形[14], 记为(M2n+1,φ,ξ,η,g).

在近切触度量流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上, 若对∀X,Y∈X(M)满足

(Xφ)Y=g(φX,Y)ξ-η(Y)φX,

(4)

则(M2n+1,φ,ξ,η,g)称为Kenmotsu流形[15], 其中表示(M2n+1,g)的Levi-Civita联络.

设(M2n+1,φ,ξ,η,g)为Kenmotsu流形, 定义映射

(5)

φξ=0,

(6)

η(X)=g(X,ξ),

(7)

η∘φ=0.

(8)

在式(3)中置X为φX, 并结合式(1),(7),(8)得

g(φX,Y)=-g(φY,X).

(9)

为方便表述, 本文简称如上定义的1/4对称度量联络为φ-联络.

1 预备知识

设(M2n+1,φ,ξ,η,g)为(2n+1)维Kenmotsu流形, 约定:和表示Levi-Civita联络和φ-联络,R,S和分别表示关于和的Riemann曲率张量、 Ricci曲率张量.X,Y,Z,W为(M2n+1,φ,ξ,η,g)上任意的光滑切向量场.

引理1具有φ-联络的Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立如下等式：

证明: 结合φ-联络的定义式(5)及曲率张量场的定义, 计算可知

根据文献[15], Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立dη=0, 将其代入式(10)即得结论.

引理2设(M2n+1,φ,ξ,η,g)为具有φ-联络的Kenmotsu流形,h为其上的对称(0,2)型张量场.则h关于φ-联络平行与关于Levi-Civita联络平行一致的充要条件为: 对∀X,Y∈X(M), 有h(φX,Y)=-h(φY,X).

证明: 充分性.对∀X,Y,Z∈X(M), 有

于是, 由φ-联络的定义得

(11)

Xh(Y,Z)-h(XY,Z)-h(XZ,Y)=0.

必要性.由h关于φ-联络平行与关于Levi-Civita联络平行一致, 得

于是, 由式(11)知

η(X)(h(φY,Z)+h(Y,φZ))=0,

再结合式(2)可得结论.

2 主要结果

h(φX,Y)=-h(φY,X), ∀X,Y∈X(M),

则h=λg, 其中λ=h(ξ,ξ)为常数.

(13)

利用引理1及式(4), 计算式(13)得

h=0.

与式(13)同理可得

h(R(X,Y)Z,W)+h(Z,R(X,Y)W)=0.

将式(14)化为

在式(15)中, 令W=ξ, 并结合式(2),(7),(8)得

在式(16)中, 置Z为φZ, 利用式(3),(8)计算得

η(X)g(Y,Z)h(ξ,ξ)-η(Y)g(X,Z)h(ξ,ξ)+η(Y)h(φZ,φX)-η(X)h(φZ,φY)=0.

(17)

在式(17)中, 令X=ξ, 由式(2),(3),(6),(7), 计算得

h(φY,φZ)=h(ξ,ξ)g(φY,φZ).

(18)

另一方面, 在h(φX,Y)=-h(φY,X)中置X为φX, 结合式(1)得

-h(X,Y)+η(X)h(ξ,Y)=-h(φY,φX),

(19)

同理, 置Y为φY得

h(φX,φY)=h(Y,X)-η(Y)h(ξ,X),

(20)

于是由式(19),(20), 并结合h是对称的, 有

η(X)h(ξ,Y)=η(Y)h(ξ,X).

(21)

在式(21)中令Y=ξ, 由式(2)得

η(X)h(ξ,ξ)=h(ξ,X).

(22)

在式(18)中置Y为φY,Z为φZ, 并结合式(1),(2),(7),(21)计算得

h(Y,Z)=h(ξ,ξ)g(Y,Z).

(23)

由引理2和定理1易得：

若对Riemann流形(M,g)的Ricci曲率张量S有S=0, 则称(M,g)是Ricci对称的.结合与引理2, 有:

推论2设(M2n+1,φ,ξ,η,g)为具有φ-联络的Kenmotsu流形, 又是Ricci对称的, 则(M2n+1,φ,ξ,η,g)为Einstein流形的充要条件为S满足S(φX,Y)=-S(φY,X).