一类张量线性系统的可解性及其应用

代丽芳,梁茂林,贾金平

(天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001)

首先引入本文用到的一些记号和定义.CI1×I2×…×Im表示所有m-阶I1×I2×…×Im-维复张量的全体.例如,m-阶I1×I2×…×Im-维复张量A=(ai1i2…im),其元素ai1i2…im∈C且下标满足

对于张量S=(ai1i2…im),T=(bj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im,其外积S·T=(ui1i2…imj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im定义为ui1i2…imj1j2…jm=ai1i2…imbj1j2…jm.

本文考虑基于Einstein积的张量线性系统

A*nX=B，

(1)

这里A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In为已知张量.在连续力学中离散的高维泊松方程可以表示为(1)的形式[3,4].值得一提的是,在生物医疗科学中,多个基因的相互作用可以描述为求解张量线性系统(1)的稀疏解[5].因此,求解张量方程(1)的具有特殊结构的解具有重要的意义.为此引入如下定义.

定义1设张量A=(ai1i2…imj1j2…jn)∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn,则其共轭转置AH定义为

若张量A∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im满足条件AH=A,则称之为Hermitian张量,若A满足AH=-A,则称之为Skew-Hermitian张量.

在定义1中,若A是实张量,则共轭转置退化为转置,记作AT[3].Hermitian张量在量子纠缠相关理论中有重要应用[6].Hermitian张量和Skew-Hermitian张量可以看作是Hermitian矩阵和Skew-Hermitian矩阵的推广形式[7].作为矩阵逆的推广,Brazell等人在文献[3]引入了张量逆的概念,讨论了张量线性系统(1)的可解性及其最小二乘解.进一步,孙丽珠等人借助张量的Moore-Penrose广义逆给出了(1)的一般解表达式[7].但是对于带有约束条件的张量线性系统(1)的求解问题并未在已有文献中发现.本文考虑张量线性系统(1)具有Skew-Hermitian解X的可解性问题,并将其应用到一类张量特征值反问题,后者表述如下：

定义2给定张量X∈CI1×I2×…×Im和复数μ,求Skew-Hermitian张量A∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im使之满足

A*mX=μX.

(2)

与上述张量特征值反问题对应的原问题是由香港理工大学的祁力群先生提出的[8],这类问题源于计算力学、信号处理、图像恢复等方面的应用问题[9-11].

1 主要结果

为了研究Skew-Hermitian张量约束下的张量线性系统(1)的可解性问题,首先引入如下引理.

引理1设张量M∈CP1×P2×…×Ps×I1×I2×…×Im,N∈CP1×P2×…×Ps×J1×J2×…×Jn,P∈CJ1×J2×…×Jn×K1×K2×…×Kt,Q∈CI1×I2×…×Im×K1×K2×…×Kt,则张量方程组M*mZ=N,Z*nP=Q有解的充要条件为

M*mQ=N*nP,M*mM+*sN=N,Q*tP+*nP=Q.

此时它的一般解为

Z=M+*sN+(I1-M+*sM)*mQ*tP++(I1-M+*sM)*mH*n(I2-P*tP+),

其中I1∈RI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im和I2∈RJ1×J2×…×Jn×J1×J2×…×Jn为单位张量,H∈CI1×I2×…×Im×J1×J2×…×Jn为任意张量.

下面考虑张量线性系统(1)具有Skew-Hermitian解的可解性问题.为此证明如下引理.

引理2设张量A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In,则张量线性系统(1)有Skew-Hermitian解,当且仅当张量方程组

(3)

有一般解.

引理2说明,张量线性系统(1)具有Skew-Hermitian解的可解性问题等价于张量方程组(3)是否有一般解的问题.基于上述结论,可以证明如下结论.

定理1设张量A,B∈CP1×P2×…×Pm×I1×I2×…×In,则张量线性系统(1)有Skew-Hermitian解的充要条件为

A*nBH=-B*nAH,A*nA+*mB=B.

(4)

此时它的通解表达式为

(5)

I3∈RI1×I2×…×In×I1×I2×…×In为单位张量,U∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In为任意的Skew-Hermitian张量.

证明根据引理1,张量方程组(3)有解当且仅当

A*nBH=-B*nAH,A*nA+*mB=B, -BH*m(AH)+*nAH=-BH.

上式化简即得式(4).此时方程组(3)的一般解表达式为

X=A+*mB+(I3-A+*mA)*n(-BH)*m(A)H++(I3-A+*mA)*nW*n(I3-AH*m(A)H+)

=A+*mB-(I3-A+*mA)*n(A+*mB)H+(I3-A+*mA)*nW*n(I3-A+*mA),

(6)

其中,任意张量W∈CI1×I2×…×In×I1×I2×…×In.当等式(4)成立时,结合引理2即得式(5)成立.

注1根据Moore-Penrose广义逆的性质和张量内积的定义,容易验证内积

另外,基于上述定理,可以得到张量特征值反问题(2)的解.

定理2给定张量X∈CI1×I2×…×Im和纯虚数μ,则张量特征值反问题(2)有解,且通解表达式为

A=μ·X·X++(I1-X·X+)*nU*n(I1-X·X+),

(7)

其中,U∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im为任意的Skew-Hermitian张量.

证明假设μ为复数.根据引理2,张量特征值反问题(2)的可解性等价于张量方程组

(8)

的可解性.易见,对于张量方程组(8)而言,由定理1可知其有解的充要条件为

上式中后两个等式恒成立,而第一个等式则说明μ必为纯虚数.进一步,它的一般解为

(9)

其中

(10)

注2由定理2的证明过程可见,Skew-Hermitian 张量的特征值为纯虚数,这与矩阵情形是一致的.另外,这里考虑的是给定一对特征对的张量特征值反问题.对于给定多个特征对的情形需要进一步考虑.

2 数值实验

本节给出相关的数值例子来验证本文所得结论的可行性.下文中的所有实验数据均是在MATLAB (R2016a)软件上编程实现,并在个人电脑(Inter(R)Core(TM)i5-4200M，4.00G内存)上实施所得到,其中张量积的运算用到了张量工具包[12].

例1设给定张量A,B∈C4×3×2×3如下:

例2设给定特征张量X∈C3×2和特征值如下

3 总结

研究了张量线性系统(1)具有Skew-Hermitian解的充要条件,并借助张量的Moore-Penrose广义逆得到了该系统的一般解表达式.作为上述结果的应用,给出了张量特征值反问题(2)的通解表达式.最后,通过数值实验说明了所得结果的可行性.另外,张量相关问题往往是大规模的,考虑这些问题的迭代算法是十分必要的,这将是下一步需要研究的问题.