弱幂等Quantale范畴与相关范畴的关系

刘 敏, 杜佳慧

(长安大学 理学院, 西安 710064)

Quantale概念的提出为研究非交换C*-代数提供了新的刻画格式, 并为量子力学提供了新的数学模型[1-2]. Quantale理论也是理论计算机科学的数学基础之一, 应用广泛[3-6].

对不同类型的Quantale结构及其范畴之间关系的研究可促进Quantale理论的应用研究, 有助于研究基于Quantale建立的强化范畴之间的关系[7]. Quantale范畴与可换Quantale范畴、 右侧Quantale范畴、 幂等Quantale范畴、 Locale范畴之间的关系是Quantale理论中经典结论, 文献[8-9]进一步研究了Quantale范畴与左半可换Quantale范畴、 可除Quantale范畴之间的关系. 幂等Quantale是一类重要的Quantale, 如幂等Quantale在C*-代数的研究中具有重要作用[6], 文献[10-11]将幂等Quantale理论应用到了非交换C*-代数中. 但幂等Quantale条件较苛刻, 许多具有广泛应用的Quantale结构都不完全满足幂等性的条件, 如t模中的Lukasiewicz三角模和Goguen(乘积)三角模等. 本文通过引入弱幂等Quantale的概念, 考虑如何刻画Quantale的最大弱幂等商, 并进一步建立弱幂等Quantale范畴、 幂等Quantale范畴和Quantale范畴之间的关系.

1 预备知识

本文未注明的Quantale的一些基本概念可参见文献[6,12].

定义1[1,6]设Q是完备格,&是Q上的二元运算, 且满足：

1) ∀a,b,c∈Q, (a&b)&c=a&(b&c);

则称(Q,&)是Quantale, 简称Q是Quantale.

由Quantale的定义知, _&a和a&_是Q上的保并映射, 因此其均有右伴随, 分别用a→l_和a→r_表示.于是a&c≤b⟺c≤a→rb⟺a≤c→lb.

设Q是Quantale,a∈Q, 1为Q中的最大元.若a&a=a, 则称a是Q的幂等元.若Q中的每个元素都是幂等元, 则称Q是幂等Quantale.若a&1≤a, 则称a是Q的右侧元.若Q中每个元素都是右侧元, 则称Q是右侧Quantale.若1&a≤a, 则称a是Q的左侧元.若Q中每个元素都是左侧元, 则称Q是左侧Quantale.若∀b∈Q,b&b≤a⟹b≤a, 则称a是半素元[6,13].

定义2[6,13]设P和Q是Quantale,f:P→Q是映射, 如果f保任意并和&运算, 则称f是P和Q之间的Quantale同态; 如果Quantale同态f:P→Q是双射, 则称f是P和Q之间的Quantale同构, 此时也称P和Q同构, 记作P≅Q.

设Q是Quantale.若映射j:Q→Q是Q上的闭包算子, 且∀a,b∈Q,j(a)&j(b)≤j(a&b), 则称j是Q上的核映射.设S⊆Q, 如果存在Quantale核映射j, 使得S=Qj, 则称S是Q的Quantale商.用N(Q)表示Q上核映射的全体.设j∈N(Q), 如果∀a,b∈Q,j(a&a)=j(a), 则称j是幂等的[6,13].

命题1[6,13]设Q是Quantale,S⊆Q, 则S是Q的Quantale商当且仅当S对于任意交封闭, 并且∀a∈Q,s∈S, 有a→rs,a→ls∈S.

2 Quantale上的弱幂等核映射

下面引入弱幂等Quantale的概念, 并给出Quantale最大弱幂等商的刻画.

定义3设Q是Quantale,a∈Q, 如果a&a≤a, 则称a是Q的弱幂等元.如果Q中的每个元素都是弱幂等元, 则称Q是弱幂等Quantale.

定义4[14]设Q是Quantale,a∈Q, 如果a≤a&a, 则称a是Q的拟幂等元.如果Q中的每个元素都是拟幂等元, 则称Q是拟幂等Quantale.

注11) 若Q为右侧或左侧Quantale, 则Q为弱幂等Quantale, 反之不成立;

2)Q为幂等Quantale当且仅当Q为弱幂等Quantale, 且Q为拟幂等Quantale.

例1设Q=[0,1], 则(Q,≤)是一个完备格, 其中≤为自然序.

1) 令&=×, 其中×是[0,1]上的普通乘法运算, 则(Q,&)是一个弱幂等Quantale, 但不是幂等Quantale.

2) 定义Q上的二元运算⊗为

则(Q,⊗)为弱幂等Quantale, 但不是幂等Quantale.

设Q是Quantale, 若Q中所有元素均为半素元, 则称Q为半素的.

命题2设Q是Quantale, 则Q是幂等Quantale当且仅当Q是半素的弱幂等Quantale.

证明: 设a∈Q,Q为半素的弱幂等Quantale, 则a&a≤a.因为a&a∈Q,a&a≤a&a, 所以a≤a&a, 从而a=a&a, 因此Q为幂等Quantale.设a∈Q, 由Q为幂等Quantale可知a&a=a, 故Q为弱幂等的.设a,b∈Q,b&b≤a, 则b=b&b≤a, 故Q为半素的.证毕.

定义5设Q是Quantale,j∈N(Q).

1) 如果∀a∈Q,j(a&a)≤j(a), 则称j是Q上的弱幂等核映射;

2) 如果∀a∈Q,j(a)≤j(a&a), 则称j是Q上的拟幂等核映射.

注21) 令ji=∧{j∈N(Q)|j为幂等核映射}, 则ji为幂等核映射[13];

2) 令jwi=∧{j∈N(Q)|j为弱幂等核映射}, 则jwi为弱幂等核映射;

3) 令jpi=∧{j∈N(Q)|j为拟幂等核映射}, 则jpi为拟幂等核映射.

命题3设Q是Quantale,j为Q上的弱幂等核映射, 并且其为拟幂等核映射, 则j是Q上的幂等核映射.

推论1设Q是Quantale, 则:

1)ji=jwi∨jpi;

2)Qji=Qjwi∩Qjpi.

引理1设Q是Quantale,j∈N(Q), 则下列条件等价:

1)Qj是弱幂等的;

2)j是弱幂等的;

3)jwi≤j;

4)Qj⊆Qjwi.

证明: 1)⟹2).设Qj为弱幂等的, 则∀a∈Q, 有

j(a&a)=j(j(a)&j(a))=j(a)&jj(a)≤j(a),

故j为弱幂等的.

2)⟹1).设j是弱幂等的, 则∀a∈Qj, 有a&ja=j(a&a)≤j(a)=a, 故Qj是弱幂等的.

3)⟹2).设jwi≤j, 则j=j∘jwi, 从而∀a∈Q, 有

j(a&a)=j(jwi(a&a))≤j(jwi(a))=j(a),

故j为弱幂等的.

2)⟹3).由jwi的定义可得jwi≤j.

3)⟺4).易证.证毕.

引理2设Q是Quantale,j∈N(Q), 则下列条件等价:

1)Qj是拟幂等的;

2)j是拟幂等的;

3)jpi≤j;

4)Qj⊆Qjpi.

证明: 类似于引理1可证, 故略.

命题4[13]设Q是Quantale, 则∀a∈Q, {bi}i∈I⊆Q, 有

令

定理1设Q是Quantale, 则WI(Q)是Q中最大弱幂等Quantale商.

2) 设a∈WI(Q),c∈Q.由WI(Q)的定义可知c→la是弱幂等的.则∀b,d∈Q, 有b→l(c→la)=(b&c)→la, 所以b→l(c→la)是弱幂等的.又由定义可知b→r(c→la)为弱幂等的.因为a∈WI(Q),

d→r(b→l(c→la))=d→r((b&c)→la),

所以d→r((b→lc)→la)是弱幂等的.从而可知c→la∈WI(Q), 同理可证c→ra∈WI(Q).

由(1),(2)可知WI(Q)为Quantale商.

3) ∀a,b∈WI(Q), 因为a&WI(Q)b=∧{s∈WI(Q)|a&b≤s}, 所以∀a∈WI(Q), 由a&a≤a可知a&WI(Q)a≤a, 即WI(Q)为弱幂等Quantale.

4) 设jWI为WI(Q)所对应的核映射, 即WI(Q)=QjWI.由WI(Q)为弱幂等的可知jWI为弱幂等核映射, 故jwi≤jWI, 因此WI(Q)⊆Qjwi.反之, 设a∈Qjwi.则

a&a≤jwi(a&a)=jwi(jwi(a)&jwi(a))=jwi(a)&jwijwi(a)≤jwi(a)=a,

所以a为弱幂等的.因为Qjwi为Quantale商, 所以b→la,b→ra,c→r(b→la)∈Qjwi为弱幂等的.从而Qjwi⊆WI(Q), 因此WI(Q)=Qjwi.

综上可知WI(Q)为Q上最大弱幂等Quantale商.证毕.

定理2设Q是Quantale, 则PI(Q)是Q中最大拟幂等Quantale商.

2) 类似于定理1中2)的证明可得∀a∈PI(Q),c∈Q,c→la,c→ra∈PI(Q).

由1),2)可知PI(Q)为Quantale商.

3) 设a∈PI(Q),s∈PI(Q),a&a≤s, 则a≤s.因此a≤a&PI(Q)a=∧{s∈PI(Q)|a&a≤s}, 即PI(Q)为拟幂等Quantale.

4) 设jPI为PI(Q)所对应的核映射, 即PI(Q)=QjPI.由PI(Q)为拟幂等的可知jPI为拟幂等核映射, 故jpi≤jPI, 因此PI(Q)⊆Qjpi.反之, 设a∈Qjpi,b∈Q,b&b≤a.则b≤jpi(b)≤jpi(b&b)≤jpi(a)=a, 所以a为半素元.又因为Qjpi为Quantale商, 所以b→ra,b→la,c→r(b→la)∈Qjpi为半素元.从而Qjpi⊆PI(Q), 因此PI(Q)=Qjpi.

综上可知PI(Q)是Q上最大拟幂等商.证毕.

3 弱幂等Quantale的范畴性质

下面分别用IQuant,WIQuant,PIQuant表示Quantale的以幂等Quantale、 弱幂等Quantale、 拟幂等Quantale为对象, 以Quantale同态为态射构成的范畴.

命题5[13]设f:Q→K是Quantale同态, 则∀a∈Q,b∈K, 有f*(f(a)→rb)=a→rf*(b),f*(f(a)→lb)=a→lf*(b).

引理3WI: Quant→WIQuant为函子.

证明: 1) ∀Q∈ob(Quant), 由定理1可知WI(Q)∈ob(WIQuant).

记f*:Q′→Q为f的右伴随.

① 设b∈WI(Q′), 则

f*(b)&f*(b)≤f*(b) ⟺f(f*(b)&f*(b))≤b⟺f(f*(b))&f(f*(b))≤b.

因为f(f*(b))≤b, 所以f(f*(b))&f(f*(b))≤b&b≤b, 从而f*(b)&f*(b)≤f*(b).故f*(b)为Q上的弱幂等元, 即f*保弱幂等元.

② 设a∈WI(Q′),b∈Q.由a∈WI(Q′), 可知f(b)→la为弱幂等元.又因为f*保弱幂等元, 所以f*(f(b)→la)为弱幂等元.又因为

所以b→lf*(a)=f*(f(b)→la), 因此b→lf*(a)为弱幂等元.同理可证b→rf*(a)为弱幂等元.

③ 设a∈WI(Q′),b,c∈Q,t∈Q, 则

所以

c→r(b→lf*(a))=f*(f(c)→r(f(b)→la)).

因为f(c)→r(f(b)→la)为弱幂等元,f*保弱幂等元, 所以f*(f(c)→r(f(b)→la))为弱幂等元, 从而c→r(b→lf*(a))为弱幂等元.

由①～③可得f*(WI(Q′))⊆WI(Q).

设a∈WI(Q),a′∈WI(Q′), 则

设a,b∈WI(Q), 则

故

WI(f)(a&WI(Q)b)≤WI(f)(a)&WI(Q′)WI(f)(b),

从而

WI(f)(a)&WI(Q′)WI(f)(a)=WI(f)(a&WI(Q)b),

即WI(f)保&.因此WI(f)为Quantale同态.

3) 设1Q:Q→Q为Q上的恒等映射,a∈WI(Q), 则WI(1Q)(a)=jwi(1Q(a))=jwi(a)=a, 故WI(1Q)=1WI(Q), 即WI保单位.

由1)～4)可知WI为函子.证毕.

命题6[13]设j是QuantaleQ上的核映射, 则

j(a&b)=j(a&j(b))=j(j(a)&b)=j(j(a)&j(b)), ∀a,b∈Q.

定理3WI: Quant→WIQuant为含入函子I: WIQuant→Quant的左伴随.

设ai∈P,i∈I, 则

综上可知WI为含入函子I的左伴随.证毕.

引理4PI: Quant→PIQuant为函子, 且为含入函子I: PIQuant→Quant的左伴随.

证明: 1) ∀Q∈ob(Quant), 由定理2可得PI(Q)∈ob(PIQuant).

记f*:Q′→Q为f的右伴随.

① 设a∈PI(Q′),b∈Q,b&b≤f*(a), 则

f(b&b)≤a⟹f(b)&f(b)≤a⟹f(b)≤a⟹b≤f*(a),

故f*保半素元.

② 若a∈PI(Q′),b∈Q, 设c∈Q,c&c≤b→lf*(a), 则

因此b→lf*(a)为半素元.同理可知b→rf*(a)为半素元.

③ 若a∈PI(Q′),b,c∈Q, 设d∈Q,d&d≤c→r(b→lf*(a)), 则

从而c→r(b→lf*(a))为半素元.

由①～③可知f*(PI(Q′))⊆PI(Q).进一步可证明PI(f)保并和&运算, 类似于引理3和定理3的证明, 可证明PI为函子, 且为含入函子I的左伴随.证毕.

下面结合函子WI和PI进一步讨论WIQuant与IQuant及PIQuant与IQuant之间的关系.

定理4P: WIQuant→IQuant为含入函子I: IQuant→WIQuant的左伴随.

定理5W: PIQuant→IQuant为含入函子I: IQuant→PIQuant的左伴随.

证明: 类似于定理4的证明可知W定义合理, 由引理4的证明可知W为I的左伴随.证毕.

推论2IQuant是Quant的反射子范畴.

综上, 本文证明了PIQuant,WIQuant是Quant的反射子范畴, IQuant是PIQuant,WIQuant的反射子范畴, IQuant是Quant的反射子范畴, 即有如图1所示的伴随序列.

图1 与幂等Quantale相关几个范畴之间的关系Fig.1 Relationship among several categories about idempotent quantale

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