数学手账：学生数学实践的智慧表达

[摘  要] “数学手账”能有效地激發学生的数学思维，催生学生的数学想象，提升学生的数学学习力。“数学手账”可以分为“学前手账”“学中手账”和“学后手账”。“学前手账”能记录学生数学学习的问题，“学中手账”能记录学习的过程，“学后手账”能记录学习的感悟。作为教师，要根据数学知识内容的特质以及学生的具体学情，合理设计、研发“数学手账”。借助“数学手账”，让学生成为愿学者、慧学者、善学者、智学者。

[关键词] 数学手账;实践;智慧表达

所谓“数学手账”，通俗地说就是学生记录自己的问题、想法，反思自己的学习过程、结果的一种个性化的学习载体。在小学数学教学中，教师借助“数学手账”，能有效地激发学生的数学思维，催生学生的数学想象，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。从某种意义上说，学生的“数学手账”是学生数学实践的智慧表达，凝结着学生的数学生命实践智慧。“数学手账”能让学生的数学学习有方向、有活力、有趣味。

一、学前手账：记录学习的问题

“数学手账”从时间上可以分为“学前手账”“学中手账”和“学后手账”。在数学教学中，教师要引导学生备学、预习，而“学前手账”，则是记录学生预习、备学中的感受、体验、认识、认知的媒介，也是记录预学、备学中所遭遇的问题、困惑、障碍、迷思的载体。可以这样说，“学前手账”是学生备学、先学、预学情况最为真实的表达，可以让学生成为一个自主性学习者。

比如教学“比的认识”（苏教版六年级上册）这部分内容前，笔者让学生先行预习。在预习的过程中，学生认识到“比”与“分数”和“除法”的关联，认识到三者的相似性。同时，有学生在“学前手账”上记录下在预习中获得的知识以及产生的问题，也有学生在“学前手账”上写下问题，诸如“比与除法、分数有什么联系和区别？”“教材中的两个例题的比有什么区别（同类量的比和不同类量的比）？”“数学中的比与生活中、比赛中的比是否相同？”“比的前项、后项是否可以为0？”在文字记录之外，还有学生在“学前手账”上绘制表格，将整个表格分为“比”“除法”“分数”三行，并分别从“意义”“联系”“区别”“性质”等方面进行建构;也有学生在“学前手账”上画出了思维导图，将比与分数、除法进行类比，进而从“商不变的规律”“分数的基本性质”类推出“比的基本性质”等。从实际情况来看，学生的“学前手账”内容全面、主题突出，有效地展示了在预习中所获得的知识、所经历的思维历程、所产生的探究困惑。这样的“学前手账”，让学生的先学、预学、备学“痕迹化”，也让学生内在的数学思维、思考“可视化”。

数学“学前手账”能不断提升学生的观察力、思维力、探究力和创造力。教师应改变传统的师本教学方式，转而引导学生进行自主性学习。在这个过程中，教师要适度介入，对学生的备学过程进行引领。数学“学前手账”让学生的数学学习从经历走向经验，从认知走向感受和体验。

二、学中手账：记录学习的过程

在数学教学中，教师不仅要致力于让学生获得新知识，更要让学生获得新的思维方式、探究路径、解题策略等。对于关键性的数学知识，数学知识诞生过程中的关键节点，整体的知识结构以及在数学思考、探究中的真实过程，学生也有必要将之记录在“数学手账”中。“学中手账”能有效地记录学生的学习过程。总体而言，“学中手账”不仅能体现学生数学思维的深度，而且能体现学生参与的广度以及学生数学思考、探究的效度等。

“学中手账”能让学生的数学思维可视化，也能让学生探究的过程痕迹化，还能让学生问题解决的策略多样化。教师的指导不应局限于数学知识的形成过程，还应注重数学知识所蕴含的数学思想方法等。比如在“圆的面积”（苏教版五年级下册）一课的学习过程中，有学生在“学中手账”中记录下了“圆转化成长方形的过程”，并通过箭头图，将圆和长方形进行比较，从而演示了圆的面积公式的推导过程;有学生在“学中手账”中将长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形的面积集结在一起，形成了一个平面图形面积公式的知识网，将平面图形面积公式的学习流程、脉络、逻辑关系等清晰地展示出来;有学生在“学中手账”中，尝试将圆转化成三角形、梯形等平面图形，从而找到了其他独特的圆的面积推导过程，等等。从实际效果来看，“学中手账”让学生的数学学习有滋有味，它不仅拓宽了学生数学学习的广度，而且拓展了学生数学学习的深度。对于学生的数学学习，“学中手账”能发挥强本固基、拓展思维的作用。通过“学中手账”，学生在数学学习中能举一反三、触类旁通，进而能有效地迁移数学知识，感悟数学思想方法，运用数学知识。

“学中手账”让学生的数学学习走向深入。在小学数学教学中，教师可以引导学生对数学“学中手账”进行深度加工，进而让“学中手账”真正成为数学思维、数学探究、数学表达的良好载体。

三、学后手账：记录学习的感悟

很多学生，之所以学不好数学，究其根本是因为不善于反思。而“学后手账”则主要用于学生在数学学习之后记录自己的所思所得、所悟所感，反思数学学习过程——对数学学习经验、得失进行总结。通过“学后手账”，教师能更有效地培养学生“数学的眼光”和“数学的大脑”。

“学后手账”中的反思不仅包括事实性的反思，而且包括价值性的反思。事实性的反思是对自我学习路径、方法等的反思，比如“我做得对吗”“我问得对吗”“我想得对吗”“我学到了什么”等;价值性反思是对自我学习的意义、价值等的反思，比如“我的方法是最优化的方法吗”“我的探究路径是最佳的吗”等。比如教学“化简比”（苏教版六年级上册）这部分内容，很多学生在学习中都运用了新知——“比的基本性质”。有部分学生在“学后手账”中记录了自己的反思，如一位学生这样写道，“我觉得用求比值的方法化简比更加简单，也不容易出错”;另一位学生写道，“我觉得可以将整数比写成分数形式，这样化简比就相当于约分”;还有学生这样写道，“化简比的方法应该是多样的，既可以运用比的基本性质化简比，也可以运用求比值的方法化简比。在化简比的过程中，应根据比的特点来运用各种方法”，等等。显然，学生将方法、经验等记录在“学后手账”中的这些行为，既是对自身学习经验的提炼、总结，也是教师引导学生进行有效数学交流的体现。

“数学手账”有呈现方式图文并茂、主题类型丰富多元等特点，既能反映学生的数学学习困惑，又能体现学生的数学思维方式和学习经历。就笔者看来，“数学手账”不仅仅是一种数学学习工具，其本身就是学生数学学习的重要组成。“数学手账”能激发学生的创造性思维，催生学生的数学创新性活动。

“数学手账”是学生数学学习的一种新形式。作为小学数学教师，我们应当多尝试、多思考、多探究，充实学生“数学手账”的内容，丰富学生“数学手账”的形式。在小学数学教学过程中，在自己设计、研发之外，教师也要根据数学知识内容的特点以及学生的具体学情，让学生合理设计、研发“数学手账”，并借助“数学手账”，使其成为愿学者、慧学者、善学者、智学者。

作者简介：施永辉（1977—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作。