在思维结构的突破中促使学习发生

陈六一

一、单点唤醒

学生在学习新知识时，一般都是从他原有的思维结构出发，以“旧知”来解释“新知”。所以几乎所有的认知理论，都强调学生的数学现实会对当前的数学学习产生作用。徐老师深谙理论，通过唤醒学生对小数意义、性质等单点知识的理解，使其自然地通向多点知识的融通。

【教学片段1】

師：本学期我们接触到的最多的知识是什么？

生：小数。

师：我们学过了小数的哪些知识？

生：加、减、乘、除。

师：这是四则运算。

生：还有小数的性质。小数的简便计算。

师：除了计算，还学过小数的什么？

生：近似数。

师：学习小数的性质之前学了什么？

生：小数的意义。

师：对呀，小数是怎么产生的呢？

生：和分数、整数有关。在数学中产生，也在生活中产生。

师：的确，整数不够用了，产生了分数、小数，小数能精准地表达。

生：十进分数可以用小数表示。

师：讲得好，那接下来大家在作业单中，画图表示一些小数。

生：整数1，平均分成10份，其中一份用分数表示是十分之一，写成小数是0.1;平均分成100份，其中一份用分数表示是一百分之一，写成小数是0.01;平均分成1000份，其中一份用分数表示是一千分之一，写成小数是0.001。

【赏析】透过教学片段可以看出，凭借着回忆，学生大多对小数概念只是具备单点状理解，还不能将多点知识进行关联，进而领悟到每一个知识点都指向核心概念——计数单位。而这，正是复习课的教学任务所在。所以徐老师一边让学生尽情地说，一边将学生的思维聚焦到核心概念。

二、多点关联

基于片段1的教学，可以看见学生心中的小数缺乏系统性与整体性，这样的小数知识只是小数的实然状态，需要通过释然加以结构化，以达到小数与整数的一致性同构。这样，学生在思考“新知”与“旧知”不是一回事的失衡中，重新平衡到“新知”与“旧知”就是一回事。同时，因为有了思维的参与，“新知”的框架不但被扩充，也被改良。

【教学片段2】

徐老师出示8道口算题：0.1+0.1，0.1+0.01，0.1-0.01，1-0.01，0.1×2，0.1×0.2，0.1÷2，0.1÷0.2。学生独立完成。

师：能用计数单位的知识来解释计算吗？

生：①0.1+0.1，2个十分之一，是十分之二，就是0.2。②2个0.1就是0.2。③0.1+0.01，1个十分之一加1个一百分之一，是11个0.01，是0.11。④0.1-0.01，1个0.1是10个0.01，10个0.01减去1个0.01，得9个0.01。⑤1-0.01，1等于100个0.01，100个0.01减去1个0.01，得到99个0.01，是0.99。⑥0.1×2，表示2个0.1相加，是0.2。⑦0.1×0.2，0.1的十分之二，得2个0.01，是0.02。⑧0.1÷2，十分之一的一半，0.05。⑨0.1÷0.2，被除数、除数同时扩大10倍，也就是1÷2，商是0.5。

师：是不是可以想0.1里有几个0.2？

生：半个，是0.5。

以上学生回答时，徐老师同步出示课件，如图1。

师：会笔算吗？带着下面4个问题进行计算：①计算小数加减要注意些什么？②小数乘法积的小数点位置如何确定？③除数是小数为什么要化为整数？④小数四则运算中哪些地方运用了小数性质？

徐老师出示笔算题：3.8+1.2，5-3.8，3.8×1.2，4.56÷3.8。

生：3.8+1.2=5，5-3.8=1.2。

师：做5-3.8，被减数5为什么要添一个小数点和0？根据什么理由添0的？

生：根据小数的性质，在小数的末尾添上0，小数的大小不变，添上0，就使得被减数的十分位和减数的十分位上都有了数，方便计算。

师：回到问题①，小数加减法要注意什么呢？

生：小数点对齐。

师：为什么要小数点对齐？

生：数位对齐，计数单位相同。

生：3.8×1.2，两个乘数先当做整数，然后把积缩小100倍，或者数出两位小数。

生：4.56÷3.8，变成45.6÷38，得数1.2。

生：小数乘除法，先将小数转化成整数，除的时候依据的是商不变规律，乘的时候依据的是积的变化规律。

师：总结回顾，不管是做加减法时小数点对齐，还是做乘除法时转化成整数，都和计数单位有关系。

师：哪些地方用了小数的性质？

生：加法结果的化简，减法小数末尾添0……

师：今后学什么呢？可能和什么有关系？

生：分数四则运算，大概和分数单位有关。

【赏析】片段2中的教学，徐老师让学生在口算中，感悟到了小数加减乘除其实和之前学习的整数四则运算一样，算的都是计数单位;在笔算中，学生再一次体验了数位对齐是为了把相同的计数单位进行加减，转化成整数得到积与商也是为了数出计数单位。学生充分的说理，说明了他们已经将多个知识点进行了关联，并一致联结到“计数单位”，于是小数的加减乘除做的其实还是整数的加减乘除，只要再走一步，接着去数有多少个计数单位。

三、拓展结构

教学的路径是线性的，但学生在教师的引领下，参透数学本质的过程是迂回的。徐老师的追问，学生自我突破瓶颈时产生的疑惑，都会将学生带到“失败”与“挫折”面前。但是，走出“失败”与“挫折”，学生便能举一反三，将错误问题的解决变成实实在在的思维实验，于是学生的认知获得进一步拓展，许多看上去的不同都找到了相同的原理。例如，解释3.8×1.2的算理，学生认识大多停留在将小数当成整数，积有两位小数，追问“为什么积是两位小数”，学生一般不会联系到计数单位。计算算的是相同计数单位，而算是快速地数，所以计算也可以纳入“数是数出来的”认知结构，学生算3.8×1.2就是数38×12个0.01，于此认知结构与数学结构同步丰盈。

【教学片段3】

师：根据38×12=456直接写得数，不计算，带着找规律的眼光来思考。

生：①3.8×12，結果是456个0.1，也就等于45.6。②0.38×12，结果是456个0.01，也就等于4.56。③0.38×1.2，结果是456个0.001，也就等于0.456。④0.38×0.12，结果是456个0.0001，也就等于0.0456。

师：自己再出两题。

生：0.038×12，结果是456个0.001，也就等于0.456。

生：我能出一个和你答案一样的算式，0.0038×120，结果也是456个0.001。

生：这些题目在讲同一个数学故事，都是数456个不同的计数单位。

师：根据4.56÷3.8=1.2，填上合适的数，45.6÷（？摇？摇？摇？摇？摇？摇）=1.2，0.456÷（    ）=1.2，（    ）÷380=1.2，（    ）÷0.038=1.2。

【赏析】徐老师在复习乘除法时，花了更多的时间，让思维有了更多的“挣扎”。由此，学生也能体会到运算的背后有着运算律的支撑。例如，学生说的“0.38×1.2，结果是456个0.001，也就等于0.456”，这是多次利用了乘法交换律和结合律，具体过程是：0.38×1.2=（38×0.01）×（12×0.1）=（38×12）×（0.01×0.1）=456×0.001=0.456。在此，也可以看到小数乘法运算中还有一个难点就是理解两个小数相乘，其结果的计数单位对于原来的两个乘数已经发生了变化，一如0.38×1.2中，0.38数的是38个0.01，1.2数的是12个0.1，两数相乘，数的是0.01×0.1即0.001这个计数单位。而这也提醒我们小数认识的教学要放在整体视野中考量，其意义要突出小数是不断“十分”的产物，如0.01是0.1十分后，数出其中1份的数，0.001是0.01十分后，数出其中1份的数……

纵观全课，徐老师从学生的数学现实发端教学，根据学生学习进程中的表现，做出了单点结构（教学片段1）、多点结构（教学片段2）、拓展结构（教学片段3）的诊断评价，然后分三个环节依次逐级提升学生的理解水平：学生一开始只有关于小数的单个知识点，接着徐老师引导串联知识点，以核心概念“计数单位”统领学习，最后学生在现象的一致性中，抽象出小数的四则运算同整数四则运算一样，都是依据运算律数计数单位的个数。三次教师的教，也是三次学生的学，我们看见了学生知识结构维度、认知结构维度在增长，面对思维的挑战也逐渐组织得有序有理。

（作者单位：南京师范大学苏州实验学校？摇？摇？摇责任编辑：王彬）