一类Kirchhoff方程正规化解的存在性和唯一性

丁 凌，王诗颖

(1.湖北文理学院 数学与统计学院，湖北 襄阳 441053；2.三峡大学 理学院，湖北 宜昌 443002)

其中x∈RN(N=1,2,3)，a,b>0，r∈(0,2)和p∈(2,2*)。在正规化条件下和不同范围p下，用分析的方法，得到了此方程正规化解存在性和唯一性结果。这一结果推广了r=1特殊情形下相关文献的结论。

1 引言

本文研究一类Kirchhoff方程：

(1)

其中x∈RN(N=1,2,3)，a,b>0，r∈(0,2)和p∈(2,2*)。这里如果N=1,2时，2*=+∞；如果N=3时，2*=6。当r=1时，方程(1)就变成了

(2)

这类问题起源于方程

先在空间H1(RN)定义等价范数：

另外用记号‖·‖q表示Lq范数。回忆一下著名的带有最优函数Q(x)的Gagliardo-Nirenberg不等式[8]：

(3)

且当u=Q时等号成立。其中Q是如下方程唯一的基态解(平移意义下)：

于是，由Q满足的Pohozaev等式和Nehari等式可得：

(4)

类似于文献[8]，可证式(3)所有的最优函数都是经过Q(x)平移和伸缩的，属于集合

{αQ(βx+y)∶α，β∈R+，y∈RN}

(5)

受文献[5]的启发，考虑如下极小问题：

(6)

(7)

(8)

对任意的c>0和p∈(2,2*)，都有Ip(c)≤0成立。

(9)

2 主要定理及证明

本文主要定理如下：

(10)

另一方面，设

(11)

代入式(7)得

(12)

(13)

从而也是方程(1)的正规化解。由式(6)(8)和(13)可得

唯一性用(i)中同样的方法可得，在这里省略证明。

(14)

再结合式(8)和(14)，可得

(15)

唯一性用(i)中同样的方法可得，在这里省略证明。