疫情背景下依托案例推动概率统计“课程思政”

翁桂英，宋国富，连博勇，陈丽娜

（仰恩大学 数学系，福建 泉州 362014）

2016 年全国高校思想政治工作会议提出，要把立德树人作为中心环节，坚持把思想政治工作贯穿教育教学的整个过程。如何挖掘专业课程中的思政元素，充分发挥专业课的育人效果，是各个高校和教师改革亟需研究和解决的重要课题。目前，已有多位学者从不同方面阐述了“课程思政”在概率论与数理统计课程中的意义、价值和实施路径[1-3]。而在当今，“互联网＋”已经给教育带来巨大的改变。尤其自2020年新冠肺炎肆虐全球以来，高等教育面临全面线上教学，或线上+线下的混合教学新模式，因此课程思政也要探讨新内容，新方法。

在2020年的新冠疫情中，全国人民在党中央的统一领导下，众志成城抗击疫情，中国人民所展现出来的抗疫精神和抗疫力量令人赞叹，这些都是最生动也最深刻的现实意义的思政素材。把握疫情防控中的教育契机，深入挖掘概率论论与数理统计的思政元素，将抗疫中彰显的科学理性、积极合作、勇于奉献的价值观等内容融入平时的教学中，培养学生用概率统计的思维看待问题，勇于探索的科学精神，激发学生爱国主义热情。

基于以上情况，本文主要在教学内容上，利用线上的优秀资源，将课程内容与疫情素材有效结合，以实际案例的形式呈现，避免讲大道理，提升思政工作的亲和力以及概率论与数理统计应用的针对性，强化价值引领。在教学形式上，借助线上教学平台，将案例在线上发布，通过“线上+线下”的混合教学，充分发挥课程思政作用。通过近期的教学，研究总体思路如图1。

图1 “课程思政”教学研究思路

课程思政和专业课程相融合是以后教学改革的重要课题，其教学内容和方法还在不断实践和探讨中，下面先介绍概率论与数理统计的“课程思政”案例。

1 概率论与数理统计的思政案例设计实践

1.1 复查的重要性（贝叶斯公式的应用）

案例1假设某核酸检测试剂筛查准确率高达99%。现据权威部门对一地统计报告，某地区有0.5%的人真正感染了新冠肺炎。现对来自于该地区的一人进行核酸检测。问：

（1）若被检者第一次核酸检测呈阳性，则他确实感染了此疾病的概率。

（2）若被检者第一次核酸检测呈阳性，再进行第二次核酸检测（复查）仍然呈阳性，问此时他确实被感染的概率。

分析一般同学会有这样的印象：核酸检测准确率既然为0.99，现在有人被诊断为阳性（被感染），说明此人被感染的概率为0.99。如果此人被感染的概率真的有那么高，为什么人们经常需要二次核酸检测（复查）？以下从贝叶斯公式的角度来分析这个问题。

解（1）设A={被检者被感染}，B={被检者核酸检测呈阳性}，

（2）注意复查只需在第一次核酸检测呈阳性的人中进行即可，所以此时真正被感染此疾病的概率P(A)被修正为0.332，即第二次进行核酸检测时，P(A)=0.332。类似（1）的做法，计算可得新的

由（1）可知，检验者真正被感染的概率仅为33.2%。说明一次的阳性结果完全不足以说明此人被感染。而从第（2）题的结果可以看出，若被检者第二次核酸检测仍然呈现阳性时确实感染此疾病的概率高达98%。可见，复查呈阳性，那么基本可以确诊。这也是为什么在疾病诊断中需要复查的原因。当然实际问题中，因为新冠病毒的潜伏性、高传染性等因素影响，医学工作者要确诊新型肺炎，也不是仅看两次核酸检测结果，而是要多次检测，结合CT、临床特征等。

贝叶斯公式在概率论与数理统计课程中的重要作用众所周知，但学生往往一知半解。这里结合社会热点，每个学生都身临其境，学习兴趣自然提高。借助案例，引导同学，在对待实际问题时，应该科学地看待数据，认真分析数据背后的原理。不要轻信与传播谣言，未经证实，就大肆转发，制造恐怖气氛。在教学形式上，题（1）较为简单，在课堂上可以直接讲解，而题（2）必须要对贝叶斯公式先验概率和后验概率有一定理解后才能应用，因此可以课后布置在线上教学平台，巩固练习。

1.2 携手合作，共同抗疫（独立性的应用）

案例2假设3个皮匠甲、乙和丙各自独立解决某问题的概率分别为0.6，0.55，0.45，诸葛亮单独解决某问题的概率为0.9。如果这3个皮匠精诚合作，能否顶得上诸葛亮？

解用A1，A2，A3分别表示皮匠甲 、乙、丙独立解决该问题，B表示诸葛亮解决该问题。

由条件可知P(A1)=0.6，P(A2)=0.55，P(A3)=0.45则问题被三个皮匠解决的概率为

即3个智商一般的皮匠通过精诚合作以0.001的微弱优势胜过智商超群的诸葛亮。

同样道理，将“三个臭皮匠抵过诸葛亮”案例进行推广，得到下面的n重伯努利的例子，此案例可以布置在线上的学习平台，让学生课后练习，加强掌握。

案例3假定每个人只有万分之一的机会对抗疫做出贡献，并且每个人是否做出贡献是相互独立的。求n个人携手合作，对抗疫做出贡献的概率。

解设Ai= {第i个人做出贡献}，则P(Ai)=0.0001，利用事件的独立性性质，则n个人携手合作，做出贡献的概率为

可见，只要合作的人数足够多，即n→∞时，肯定对社会做出贡献，并且这种可能性随着合作人数的增加越来越大。因此在疫情面前，我们应该响应国家号召，携手合作，防控疫情。用案例渗透“勿以善小而不为”“滴水石穿”等谚语道理，育德于教。联系实际， 在过去的一年时间，全国人民集体佩戴口罩，配合体温检测，核酸检测等，同学们感受到中国人民的团结合作精神，对中国特色社会主义道路更加自信，更深刻地认识到中国特色社会主义制度的巨大优势，并且体会到制度优势带给我们的幸福感和优越感，为自己能够生长在中国感到骄傲和自豪。

1.3 护士配备问题[4]（泊松分布的应用）

案例4为保证病人在输液过程中不出意外，某方舱医院要配备流动护士，及时处理突发情况。假设每位病人在输液过程中发生意外是相互独立的，每位病人发生意外的概率是1%，对有500名输液病人的方舱医院如何配备护士最合理？医院要求病人发生意外不能及时处理的概率应小于2%。现有三种方案：

方案一：每1名护士负责20名病人；

方案二：每5名护士负责200名病人；

方案三：由10名护士负责全部500名病人。

问：哪种方案最科学合理？

分析很容易看出，方案三比方案一和方案二减少了护士数量，疫情期间，在医护人员缺乏的情况下，方案三肯定是我们的首选。但方案三能否符合医院的要求，即病人发生意外不能及时处理的概率小于2%？而安全管理中的事故次数、意外次数等服从泊松分布，因此本题转化为用泊松分布求病人发生意外不能及时处理的概率问题。

解设X1，X2，X3分别表示三种方案发生意外的人数，由题意，每位病人发生意外的概率p=0.01，将病人发生意外看成稀有事件，利用泊松分布建立三种方案病人发生意外的概率分布模型。

对于方案一，此时λ1=0.2，X1～P(0.2)则在1名护士负责20名病人情况下，同时有2名及以上病人发生意外时将不能对每一位病人及时处理，这时所求概率为

对于方案二，此时λ2=2，X2～P(2)，则病人发生意外不能及时处理的概率为

方案三中，λ3=5，X3～P(5)，则不能能及时处理的概率为

由以上计算结果可知三种方案均满足要求。虽然方案三任务重了（平均一名护士负责50位病人），但其工作效率不仅没有降低，反而提高了，而且病人发生意外不能得到及时处理的可能性也最小，因此是我们最好的选择。另外，泊松分布在实际应用中非常广泛，此时可以引导同学借助互联网，搜索本专业泊松分布的应用案例，或一些经典案例，在线上共享，教师和同学们在线上共同讨论、交流。

1.4 减少验血工作量问题[5]（数学期望的应用）

2020年5月，武汉推进1 000万人全民核酸检测，这是当时全球前所未见的大型公共措施。数万医护人员和志愿者付出了巨大的辛劳，以“合并样本”的模式10天完成检测。那么为什么要5到10人样本打包进行检测？这就涉及减少验血工作量的经典问题。

案例5现在要对某种疾病进行普查，为此要抽验N个人的血，可用两种方法进行。（1）将每个人的血液分别去验，这时需要检验N次；（2）按k个人一组进行分组，把从k个人抽出的血液混合在一起进行一次检验，如果检验结果为阴性，则说明这k个人的血液均为阴性，这样，这k个人总共检验了一次；如果检验结果为阳性，则再对这k个人的血液分别进行检验，这时这k个人总共进行了1 +k次检验。 假设每个人检验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。 那么第二种方法能否减少验血次数？若能减少，应如何选取分组人数k为最优？

解只需考虑第二种方法。设X为每个人所需检验次数，则X的分布律为

X 1 k 1+ 1 k(1-p)k (1-p)k P

每个人平均需要检验的次数

例如，当p=0.1，k=2，此时。即若检验人数N=10000，则可减少3100次，即减少31%的工作量。

那么在实际问题中，最优分组人数k具体应如何选取？设在高风险地区，佩戴口罩时被感染新冠的概率为p=3.1%，不戴口罩时被感染的概率为p=17.4%[6]。 我们采用这两个概率，另取3个患此疾病的概率p=0.01，p=0.005，p=0.001。假设需要检查的人数为10 000个，考虑k的范围：k=2, 3, …50，对比5个概率值下减少的工作量。 绘制图形如图2：

图2 分组人数与减少的验血工作量关系

由图可见，对应不同城市的患病概率p，分组人数k取5到10人一组，其减少的工作量基本达到峰值。特别是针对突发传染病，在疾病发生概率未知或数据不够全面的情况下，采取5到10人一组进行检测是比较合理的。因此在2020年初，武汉合理地采用5人一组“合并检验”模式，10天内完成全民大检测。 而在2020年下半年，我们学校组织全校教职工到医院核酸检测，采用的就是“10人一组”的检测方式，究其原因就是我们学校所处是疫情低风险地区。

此时也可引导同学在线上讨论，方法二是否一定比方法一减少工作量？比如，取患此疾病的概率p=0.3，那么情况又是如何？同时，将数学软件的画图程序命令分享给同学，加强同学的自主思考、解决问题能力，培养学生自主学习，自己检验学习成效。

2 结论

在互联网背景下，结合同学们关心的社会热点，借助案例，既进行了德育，引导大家科学看待实际问题，增强民族自信，培养爱国主义情怀，也让同学们体会到概率论与数理统计知识的广泛应用，提高了同学们学习的积极性；创新教学方法，采用线上和线下混合形式，取长补短，易于操作，学生也更能消化专业知识。总之，概率论与数理统计的课程思政还处于探索与尝试阶段，教师应该对实践教学进行不断反思，改进，才能做到“教书”和“育人”的有效统一。