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“源代码”重组:教材例题的引申

2022-05-27王磊

初中生世界·九年级 2022年4期
关键词:横坐标正比例源代码

王磊

在做练习时,我们常常会对某道题感觉很熟悉,但又不知在哪里见过,抑或者熟悉知识框架,但是对具体数字陌生。其实,这是非常正常的现象。我们所遇到的题目,有很多是来自教材上的例题,如果将问题情境改变,或者融合一些其他的知识点,就能变成一道新题。教材上的例题往往具有典型性、代表性,凝聚着重要的数学思想,有着较强的示范性,是很多新题的“源代码”。

一、例题再现

(苏科版数学教材八年级下册第131页例3)已知反比例函数y=[kx]的图像与一次函数y=x+1的图像的一个交点的横坐标是-3。

(1)求k的值,并画出这个反比例函数的图像;

(2)根据反比例函数的图像,指出当x<-1时,y的取值范围。

解:(1)把x=-3代入y=x+1,得y=-2。

根据题意,可得反比例函数y=[kx]的图像与一次函数y=x+1的图像的一个交点的坐标是(-3,-2)。

把x=-3、y=-2代入y=[kx],

得-2=[k-3],即k=6。

函数y=[6x]的图像如图1。

(2)由函数图像知,当x<-1时,

-6

二、“源代码”重组

一次函数与反比例函数的组合问题,是常见的考试题型。我们要抓住此类题交点的特殊性,利用函数图像的性质来解决。

【基础重组】(2021·山东枣庄)如图2,正比例函数y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2=[k2x](k2≠0)的图像相交于A、B两点,其中点A的横坐标为1。当k1x<[k2x]时,x的取值范围是 。

【解析】因为正比例函数与反比例函数的图像均关于原点对称,点A的横坐标为1,所以点B的横坐标为-1。观察函数的图像,我们发现,当x<-1或0

【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的基本性质,利用轴对称性推导出另一个交点B的横坐标,再利用函数图像的分布特点,分析得到满足条件的x的取值范围。

三、“源代码”升级

与函数有关的综合题,常常伴随着复杂的问题情境,这类题既考查同学们的审题能力,也考验同学们的逻辑思维和综合学力。

【升级重组】(2021·浙江金华)背景:点A在反比例函数y=[kx](k>0)的图像上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,分别在射线AC、BO上取点D、E,使得四边形ABED为正方形。如图3,点A在第一象限内,当AC=4时,小李测得CD=3。

探究:通过改变点A的位置,小李发现点D、A的横坐标之间存在函数关系。请帮助小李解决下列问题。

(1)求k的值。

(2)设点A、D的横坐标分别为x、z,将z关于x的函数称为“Z函数”。如图4,小李画出了x>0时“Z函数”的图像。

①求这个“Z函数”的表达式;

②补画x<0时“Z函数”的图像,并写出这个函数的性质(两条即可);

③过点(3,2)作一直线,与这个“Z函数”图像仅有一个交点,求该交点的横坐标。

【解析】(1)∵AC=4,CD=3,

∴AD=AC-CD=1。

∵四边形ABED是正方形,

∴AB=1。

∵AC⊥y轴,AB⊥x轴,

∴∠ACO=∠COB=∠OBA=90°,

∴四边形ABOC是矩形,

∴OB=AC=4,

∴A(4,1),

∴k=4。

(2)①由题意得A(x,x-z),

∴x(x-z)=4,

∴z=x[-4x]。

②图像如图5所示。

性质1:x>0时,y随x的增大而增大;

性质2:图像是中心对称图形。

③设直线的表达式为z=kx+b。

把(3,2)代入,得2=3k+b,

∴b=2-3k,

∴直线的表达式为z=kx+2-3k。

由[z=kx+2-3k,z=x-4x,]

消去z,得(k-1)x2+(2-3k)x+4=0。

当k≠1,Δ=0时,

(2-3k)2-4(k-1)×4=0,

解得k=[109]或2。

当k=[109]时,

方程为[19]x2-[43]x+4=0,

解得x1=x2=6;

当k=2时,

方程为x2-4x+4=0,

解得x1=x2=2。

当k=1时,

方程的解为x=4,符合题意。

另外,直线x=3,也符合题意,此时交点的横坐标为3。

综上所述,满足条件的交点的横坐标为2、3、4、6。

【点评】本题是反比例函数综合应用题,涉及的知识点较多,比如一次函数、二次函数、一元二次方程等。解题的关键是学会利用参数解决问题,学会把问题转化为方程组,再利用一元二次方程的根的判别式解决问题。

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