选择合适的方法，求圆锥曲线中三角形的面积

刘喜兰

圆锥曲线中的三角形面积问题具有较强的综合性.解答此类问题，需要灵活运用圆锥曲线的定义、方程、几何性质、三角形的面积公式、弦长公式等.求解圆锥曲线中三角形面积问题主要有三种方法：公式法、割补法、利用正余弦定理等.下面，结合例题来探讨一下这三种方法.

一、公式法

三角形的面积公式主要有两种：（1）S = ×底 ×高;（2）S =2ab sinC .对于简单的圆锥曲线中三角形的面积问题，可采用公式法求解，先求出三角形底边所在直线的方程，然后运用弦长公式求得三角形底边的长，用点到直线的距离公式求得三角形顶点到底边的距离，即可得到高线的长度，最后运用三角形的面积公式S =1 ×底 ×高求解.

例1.过 P（0，2）的直线 l 与椭圆  +y2= 1相交于A，B 两点，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为3，求直线 l 的方程.

解：

将 AB视为三角形的底边、O 视为三角形的顶点，然后运用弦长公式和点到直线的距离公式分别求得△AOB 的底边边长和高，就能运用公式法求得问题的答案.

二、割补法

割补法常常用于求解一些不规则图形的面积问题.有些圆锥曲线中的三角形面积不易求得，此时可以采用分割法，将三角形分割为几个便于计算面积的三角形、梯形、矩形、平行四边形，再将几个图形的面积相加减，即可求得三角形的面积.

例2.已知过抛物线 y2=4x 焦点 M 的直线 L 与抛物线交于 A，B 两点，|AM|= 3，O 为坐标原点，求△AOB 的面积.

解：

在求三角形底边的边长时，除了要用到了弦长公式，还需运用韦达定理.

三、利用正余弦定理

运用正余弦定理能够快速建立三角形的三边、三角之間的关系.在求解圆锥曲线中的三角形面积问题时，可运用正余弦定理求得三角形某个角的正弦值以及两边的长，这样就可利用三角形的面积公式S = ab sinC，求得三角形的面积.

例3.已知 F1，F2是椭圆 x2 + y2= 1的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若∠F1PF2=  ，求△F1PF2的面积.

解：

求解焦点三角形的面积问题，可结合圆锥曲线的定义以及正余弦定理建立三角形的边与角的关系式，再用公式 S = ab sinC求得面积.采用这种设而不求的方法解题，往往能极大地减少计算量.

相比较而言，公式法应用的范围较广一些，另外两种方法均有一定的局限性.同学们在解题时要根据题目的特点选用合适的方法求解，这样就能尽可能地简化运算，减少计算量，提升解题的效率.

（作者单位：安徽省阜阳市临泉第二中学）