巧用直线的斜率公式解答三类问题

卢洁

直线的斜率公式k = x2-x1是解析几何中的一个重要公式，在解题中应用广泛，常用于求直线的斜率、倾斜角、方程，解答中点弦问题等.本文重点谈一谈如何巧妙运用直线的斜率公式解答下列三类问题.

一、证明三点共线

在证明三点共线时，可以任意选取其中的两个点，将其坐标代入直线的斜率公式中，求出两点所在直线的斜率;再选取另两个点，求出其所在直线的斜率.若这两个斜率相等，则证明三点共线.

例1.已知过原点O 的一条直线与函数 y =log8x 的图象交于 A，B 两点，分别过 A，B 作 y 轴的平行线与函数 y =log2x 的图象交于 C，D 两点，求证： C，D，O 三点在同一直线上.

证明：设 A，B 两点的横坐标是 x1，x2，则 A（x1，log8x1），B（x2，log8x2），C（x1，log2x1），D（x2，log2x2），

因为 A，B 在过原点的直线上，所以kOA =kOB，

即  x1  =  x 2  ，

又kOC =  x1  =  x1  ，kOD =  x2  =  x2   ，

所以kOC =kOD，即 C，D，O 三点在同一直线上.

一般地，共线的三点所在直线的斜率相等，而两点能确定一条直线，所以运用直线的斜率公式来证明三点共线较为便捷.值得注意的是，有时需考虑直线的斜率不存在的情况，此时三点所在的直线与 x 轴垂直.

二、求解等差数列的通项公式问题

当等差数列的通项公式 an=a1+（n -1）d 可以变形为 an=dn +（a1-d），当 d ≠0时，可将该式视为关于 n 的一次函数，故当 n ∈ N 时，点（n，an）可看作直线 y =dx +（a1-d）上的点，于是便可利用直线的斜率公式来研究等差数列中的项、通项，判断等差数列的单调性.

例2.已知数列{an}是等差数列，若 a59=70，a80= 112，求 a122的值.

解：由 a59=70，a80= 112可设 A（59，70），B（80，112）， C（122，a122），

根据等差数列通项公式与函数的关系知 A，B，C 三点共线，这样 A，B，C 可构成直线，所以kAB =kBC，由直线的斜率公式得  =a122- 122解得 a122= 196.

如果将等差数列的通项公式看作关于 n 的一次函数，则在平面直角坐标系中，等差数列的项和其对应的项数可构成直线上的一些孤立的点，根据直线的斜率公式即可解题.同学们在解题时，要将直线的斜率公式和等差数列的通项公式关联起来，巧妙利用直线的斜率公式，可以给我们解题带来很大的便捷.

三、证明不等式

有些不等式可变为类似于直线的斜率公式的形式，因此在证明不等式时，可将这个不等式进行合理的变形，以便根据直线的斜率公式来解题.可通过比较直线的斜率的大小，比较出不等式两边式子的值的大小，从而证明不等式.

例3.已知函数 f（x）=  （x ∈ R），且 a ≠ b，求证：f（a）-f（b）<a - b .

证明：设Aa，f a，Bb，f b（a ≠ b）是双曲线y2-x2= 1（y ≥1）上的任意两点，则kAB =

因为双曲线的两条渐近线为 y =±x，其斜率为±1，由图可知-1<kAB< 1，即|kAB|< 1，

所以<1，即 f|（a）-f（b）|< |a -b|得證.

令 y =f（x）=  ，则 y2-x2= 1（y ≥1）为等轴双曲线的上支，而 可看成为曲线上两点Aa，fa，Bb，fb（a ≠ b）连线的斜率的绝对值，于是问题就转化为证明双曲线上支的任意一弦所在直线的斜率的绝对值小于1的问题，借助图形即可快速解题.

可见，将三点共线问题、等差数列的通项公式问题、不等式证明问题与直线的斜率公式关联起来，合理构造直线模型，巧妙运用直线的斜率公式，能快速解题.这就要求同学们在解题时要学会联想，由此及彼，灵活运用创造性思维来寻找解题的思路.

（作者单位：江苏省如东高级中学）