有关逻辑与推理的考点剖析

赵语维

逻辑与推理是近年高考数学中的一个高频考点，常以选择题、填空题的形式出现，难度中等，且多与其他知识交汇在一起，侧重考查同学们的综合应用能力.下面结合实例对与逻辑与推理有关的考点进行剖析.

考查角度一：根据充要条件求参数的取值范围

若遇到“由给定的充分条件或必要条件，求参数的取值范围”这类问题，则需要先根据题意，将充分、必要条件以集合的形式表示出来，根据集合之间的包含关系建立不等式（或不等式组），再借助数轴或者 Venn 图进行分析、推理.一般地，若P 是Q 的充分不必要条件，则对应的集合满足 P Q;若 P 是 Q 的必要不充分条件，则对应的集合满足Q P .

例1.（1）已知 P ：（x +2）（x -1）≤ 0， Q：（x -a -2）（x +a -2）>0（a >0），若 P 是 Q 的充分不必要條件，则实数 a 的取值范围是;

（2）若“（x -a）（x -a +2）≤0”是“1≤ x ≤2”的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是             .

解析：（1）解不等式（x +2）（x -1）≤0，可得-2≤ x ≤1.因为 a >0，所以 （x -a -2）（x +a -2）>0，可得 x <2-a 或 x >2+a .于是易知 P 成立⇔ -2≤ x ≤1;Q成立⇔ x <2-a 或 x >2+a .因为P 是Q 的充分而不必要条件，所以集合x-2≤ x ≤1是xx<2-a或x >2+a的真子集.从而可得1 <2-a 或-2>2+a，又 a >0，所以 0<a <1 .故所求实数 a 的取值范围是（0，1）.

（2）解一元二次不等式 （x -a）（x -a +2）≤0，得  a -2≤ x ≤a，因为“（x -a）（x -a +2）≤0”是“1≤ x ≤2”的必要不充分条件，所以[1，2]是 [a -2，a]的真子集.取值范围是[2，3].

本题的第（1）问侧重考查充分不必要条件与逻辑推理，解题的关键是先结合题意得到x-2≤ x ≤1

xx<2-a或x >2+a，再借助数轴建立不等式;第

（2）问侧重于考查必要不充分条件，解题的关键是先结合题意得到[1，2][a -2，a]，再借助数轴建立不等式组，推理出问题的答案.

考查角度二：有关假设推理法的应用

处理逻辑与推理问题，需要在审清题意的基础上，先找准解题的切入点，然后灵活运用假设推理法解题.运用假设推理法解题的具体步骤是：先假设给定的诸多条件中的某一个条件是正确的，然后结合其他条件进行合情推理.如果推理出矛盾，则说明假设错误，不适合题意;如果推理中没有矛盾，则说明假设正确，适合题意.如此分析题设中的所有可能情况，即可获得最后的结论.

例2.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说：“我没有作案，是丙偷的”;丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，并且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）.

A.甲     B.乙     C.丙     D.丁

解法一：依题意知，罪犯有四种可能：

假设罪犯是甲，则甲、乙、丁说的是假话，丙说的是真话，这与题意（供词）矛盾;

假设罪犯是乙，则甲、丙说的是真话，乙、丁说的是假话，适合题意;

假设罪犯是丙，则甲、乙、丁说的是真话，丙说的是假话，这与题意矛盾;

假设罪犯是丁，则乙、丙、丁说的是假话，甲说的是真话，这与题意矛盾.

综上可判断罪犯是乙.故选B项.

解法二：从甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同为真或同为假.

假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯;由甲说假话，推出乙、丙、丁不是罪犯，显然这两个结论是相互矛盾的.

于是可知乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话.根据甲、丙两人说的是真话，可判断罪犯是乙.故选B项.

解法一的切入点是这四人中只有一人是罪犯，据此进行分类讨论，其优点是便于理解、思考;解法二的切入点是乙、丁两人的观点是一致的，灵活利用假设推理法进行推理，显然该方法优化了解题的过程.

考查角度三：有关类比推理的应用

类比推理作为一种重要的推理方式，在寻求解题思路的过程中具有极为重要的作用.运用类比推理解题时，要先仔细分析题目中所给出的条件、结论，找出两类事物之间的相似性或一致性，进一步探索或提炼出有用的信息，然后用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或结论.

例3.斐波纳契数列又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，….在数学上，斐波纳契数列an定义为： a1= 1，a2= 1， an +2=an +an+1 .根据 an +2=an +an+1 可得  an =an +2- an+1 ，所以  a1+a2+ …+an =（a3-a2）+（a4-a3）+… +（an +2-an +1）=an +2-a2=an +2- 1.类比该方法，对于斐波纳契数列an，a +a + …+a 0= （  ）.

A.714  B.1870 C.4895 D.4896

解：根据题意可知数列an满足 an +2=an +an+1，即 an+1 =an +2-an ，

在该式的两边同乘以 an+1，可得 a +1 =an +2an+1 -an+1an ，

则 a +a + …+a 0=a +（a2a3-a2a1）+（a3a4-a2a3）+… +（a10a11-a9a10）= 1-a2a1+a10a11= 1- 1+ 55× 89= 4895.故选C项.

求解本题，要先明确求斐波纳契数列an和的方法为裂项相消法，再进行类比推理.将各项的平方转化为差的形式，这样便于灵活运用裂项相消法，达到解题的目的.此外，由于本题的求解目标是求a +a +… + a 0，而斐波纳契数列an的前10项在题设中已经给出，且该数列的前10项的值均较小，故完全可以用代值的方法进行求解。

逻辑与推理题是近年高考数学中出现的一类比较新颖的题型.关注逻辑与推理的考点，有利于加深对所学数学知识与思想方法的理解，进一步提高思维的灵活性、严谨性，同时能够较好地培养逻辑推理与数学运算两大数学核心素养.

（作者单位：江苏省江安高级中学）