谈谈求函数解析式的三种路径

陆秀良

在学习函数时，我们会经常遇到求函数的解析式问题，这类问题具有较强的抽象性，很多同学经常无法快速找到解题的路径.对此，笔者对求函数解析式的几种路径进行了总结，希望能对大家有所帮助.

一、换元

换元法是指通过引入一个或者几个变量，将题目中的某些变量替换，进而达到解题的目的.若已知fφx的表达式，则可以运用换元法来求函数 f x的解析式.可首先令 u =φx，得到 x =φ-1u，再将 x =φ-1u代入fφx的表达式中，通过化简求得 f x的表达式即可解题.

例1.已知fè（æ） ø（ö）=  + ，试求函数 f x的解析式.

解析：已知函数式为 y =fφx的形式，可设φx= u =  ，并用 u 表示 x ，然后将其代入到fè（æ） ø（ö）=  + 中，通过计算得到fx的解析式，这样便可通过换元，求得问题的答案.

解：因为fè（æ） ø（ö）=  +  ，

所以令 u = ，可得 x =  ，

將 x =  代入fè（æ） ø（ö）=  +  ，

得fu= u2- u +1u ≠1，

因此函数fx的解析式为fx=x2-x +1x ≠1.

二、采用解方程组法

解方程组法是指根据已知条件构造方程组，再通过消元或者合并同类项等手段，将方程组中的无关变量消去，得到 f x的表达式.采用解方程组法解题，关键在于根据题意，合理进行换元、赋值，以构造出方程组.

例2.若函数 f x满足2f 3x+3fè（æ） ø（ö）=6x，求函数 f x的解析式.

解：令 u =3x，则2fu+3fè（æ） ø（ö）=2u ①，用代替 u，得2fè（æ） ø（ö）+3fu=2 ②，联立①②式，消去fè（æ） ø（ö）得：fu=  - （u ≠0），因此fx的解析式为fx=  - x ≠0.

若已知关系式中同时出现fφx和fhx，且关系hx=  或者hx=-φx，则可以采用解方程组法来求函数fx的解析式.本题中fu中 u 的意义与fx中 x 的意义相同，所以可直接用 x 替换 u，求得函数fx的解析式.

三、引入待定系数

有些题目会直接告知函数的类型，此时可引入恰当的待定系数，将函数式用含有待定系数的式子表示出来，再将对应项的系数进行对比，得到关于待定系数的等式，求得待定系数的值，即可求得函数的解析式.在运用该路径解题时，要注意辨别函数的类型，设出合适的含有待定系数的函数式.

例3.已知函数 f x是对数函数，且 f+f= ，试求函数 f x的解析式.

解：根据题意可设fx=logaxa>0， a ≠1，因为 f+f=  ，

所以loga+loga= ，解得 a =6，因此，fx=log6xx >0，

所以函数fx的解析式为fx=log6xx >0.

我们根据已知条件设出对数函数的解析式，将已知关系式代入，便可求得函数的解析式.在解答这类问题时，要熟悉常见的基本函数解析式，如二次函数的解析式为 y =ax2+bx +c、对数函数的解析式为 y = logax、幂函数的解析式为 y =x 等a .

求函数解析式的路径还有很多，如赋值、运用数学归纳法等.同学们在求函数的解析式时，一定要仔细审题，认真分析已知条件，辨别题目的类型，然后对症下药，这样才能让解题变得更加高效.

（作者单位：江苏省兴化中学）