数列中结构不良问题的解法探微

赖周萍

2019年教育部颁布的《中国高考评价体系》中明确提出要在“一核，四层，四翼”的基础上体现基础性、综合性、应用性、创新性.其中提到要培养学生的发散性思维，要求设置合理的情境，设置新颖的试题呈现方式和设问方式，要求对学生在新颖和陌生的情境中主动思考，完成开放性或探究性任务，发现问题，找到规律，得出新结论的水平进行评价.在这样的要求下，2020年高考数学卷中首次出现结构不良问题，由此结构不良问题受到了更为广泛的关注.

结构不良问题是相对于结构良好问题而言，其本身并不存在命制上的错误，而是在条件、结论、算法上没有明确的指向.与结构良好问题的解答过程相比，结构不良问题要求学生将认知、元认知、情感和意志相融合，具有更大的育人价值.学生需利用已有的经验，将知识串联起来，在解题的过程中合理运用这些知识去分析、推理、思考，最终解决问题.数列是高中数学中的重要板块之一，在高考中占有一定的比列，其结构不良问题值得我们进一步探究.结构不良问题主要包括：条件开放型、结论开放型、条件和结论都开放型问题.下面结合实例来探讨一下这三类结构不良问题的解法.

一、条件开放型

例1.在① a1+a3= 6，a5=9，② a1= 1，4Sn =a + 4n -1，③ a1= 2，a2a3= 2a7这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知等差数列an为递增数列，其前 n 项和为 Sn，且______.在数列an的前20项中，是否存在两项 am，at（m，t∈ N*且 m

分析：此题为条件开放型的结构不良问题.学生需要在解题之初判断三个条件是否都能够使得已知条件成立.而三个条件的难易程度有所差别，学生需要在“存在两项 am ，at（m，t∈ N*且 m

解：设等差数列an的公差为d，d >0.

此题主要考查了等差数列的通项公式、性质以及前 n 项和公式.由上述分析可知，如果选择条件③，则结论是不成立的.这里设置此选项是为了打破学生认为给出的条件一定都能使得结论成立的定势思维.其次，在判断命题的正确性的基础上考查了必要条件、充分条件，这有利于锻炼学生综合应用相关知识进行分析、推理的能力.

二、结论开放型

例2.已知数列an的前 n 项和为 Sn，a1> 1，若数列an满足 an+1 >an ，且10Sn=2an + 1an + 2，n ∈ N*.是否存在 m，n，k ∈N*，且 m

从①3Sn -Sm=Sk，②2am +an=ak这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答.

解：

若选②：可得满足条件的正整数m，n，k 不存在.理由如下：假设存在 m，n，k ∈N*，且 m

本题中的条件明确，结论开放，一方面学生需要根据已知条件和数列通项an 与前 n 项和Sn 间的关系进行推理，得到初步的结论;另一方面需假设存在m，n，k ∈N*，且 m

三、条件与结论均开放型

例3.（2021年全国甲卷）已知数列{an}的各项均为正数，记 Sn 为{an}的前 n 项和，从下面①②③中选择两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等差数列，②数列是等差数列，③a2= 3a1.

分析：从三个中选择两个作为条件，则一共有三种选择，此题看似只需要学生去选择两个条件来证明即可，但考场上的时间有限，实际上学生需要事先预判每种组合情况下大致的算法，以用最少的时间来解题.作为开放性题目，此题设置三个可供选择的选项，一方面是为了简化评判过程中可能出现的情况;另一方面也给了学生自由发挥的空间，考查了其逻辑推理能力.

解：第一种情况：以①与②为条件，③为结论.

若{an}等差数列，可设an=pn +q，其中 p， q 为实数，所以 Sn = na1 + n（n - 1）.令 x =，则 Sn = a1，要使 { Sn } 为等差数列，则需使 Sn 为一个完全平方式.当 x = 2 时，Sn 为一个完全平方式，此时 x = da1= 2 ，即 d = 2a1 ，所以 a2 = 3a1 ，则命题得证.

第二种情况：以①与③为条件，②为结论.

由条件③可以得到 d = 2a1 ，an = a1 +（n - 1）d =（2n - 1）a1 ，由等差数列的前 n 项和的公式可得 Sn =n（a1 + an）2 = a1n2 ， Sn = a1 n ，根据等差数列通项公式可知，{ Sn } 为等差数列，则命题得证.

第三种情况：以②与③为条件，①为结论.

若 { Sn } 为等差数列，设其公差为 y ，则 Sn =S1 + （n - 1）y ，可得 S1 = S2 - y ，将 a2 = 3a1 代入可得 a1 + a2 = a1 + 3a1 = a1 + y ，则公差 y = a1 ，所以Sn = n a1 ，Sn = n2a1 ，当 n =1 时 a1 = S1 成立，当 n ≥ 2时，an = Sn - Sn - 1 =（2n - 1）a1 ，则 {an} 为等差数列.

学生需要在充分了解数列的基础知识的基础上，灵活运用函数思想，将三个条件进行合理搭配.这三种搭配在难度上略微有些差别.对于第一种情况，学生需要结合分析法，利用函数思想来求证;第二、三种情况的计算量较小.这一类条件目标均不开放的题目一般难度较大，对学生的逻辑推理能力、在具体情境中解决实际问题的综合能力要求更高.

数列中的结构不良问题具有较强的开放性和探究性.解题的基本思路是（： 1）弄懂题意，判断条件、结论是否明确;（2）理清问题中的数量关系，根据已明确的条件、结论以及已有的知识、经验进行推理、分析.对于存在性问題，需假设存在，据此进行推理、运算;（3）从多维度、多个角度进行分析、探究，寻找解题的思路.有时可能需要提出不同的方案，对其进行分析、探究，得出结论.

以学科素养培养为导向的高考评价体系，更加注重对学生思维能力的考查，考查学生的临场应对能力.这要求我们在平时的教学中，要更深层次地挖掘数学知识的本质，引导学生建立知识之间的联系，构建知识网络体系;要合理创设问题情境，借助情境性和开放性题目培养学生解决问题的能力，以便培养学生的数学核心素养.

（作者单位：西华师范大学;指导老师：汤强）