证明不等式的小措施

杨乐

在学习中，我们经常会遇到不等式证明题.证明不等式的方法有很多种，如比较法、综合法、分析法、反证法、换元法等，本文重点谈一谈证明不等式的三种常用措施.

一、利用分析法

分析法是指从需要证明的不等式出发，寻找使该不等式成立的条件，从而证明不等式成立，即由“果”寻“因”.运用分析法证明不等式的基本步骤为：①研究待证不等式，将其进行适当的变形、化简;②灵活运用相关的定理、公式、定义进行推理、论证，逐步与已知条件或某些结论靠拢，寻找使其成立需要的条件;③得出结论.

例1.已知a.b=R+，证明：a 1+a'.h1+b2

分析：题目中的已知条件较为简单，解答本题，需由“果”寻“因”，运用分析法来求证.从待证不等式出发，通过开方、移项、运用完全平方式，将其化为完全平方式，从而证明不等式成立.

证明：要证明，只需证明1 +a2-ab +b2≥  ，则需证明- 2+ a -b2≥ 0，而- 2≥ 0，a -b2≥ 0，所以- 2+ a -b2≥ 0，

所以命题得证.

二、运用反证法

运用反证法证明不等式，需先假设待证不等式不成立，若原不等式为 A≥B，则可假设 A

例2.已知a，b，c∈（0，+∞），则 a+ ， b +  ， c + 三个数中至少有一个不小于6.

证明：假设 a+ ，b+ ，c+  都小于6，则 a +  +b +  +c +  <18 ，

由基本不等式可得 a++b++c+≥ 2  +2  +2  =18，

這与假设的结论相矛盾，故假设不成立，

所以 a+ ，b+ ，c+ 三个数中至少有一个不小于6.

本题从正面入手较为困难，需采用反证法来求证.首先假设结论不成立，即a+ 、b+ 、c+ 都小于6，然后利用基本不等式，得出与已知相矛盾的结论，从而证明原结论成立.

三、换元

运用换元法证明不等式，需用新变量替换不等式或者其中的某一个代数式，通过换元，使其结构、形式得以改变，如将无理式转变为有理式，将分式转化为整式等.再结合已知条件化简、整理换元后的式子，从而证明原不等式成立.

例3：

证明：

通过换元，将不等式转化为结构简单的式子，再根据已知条件进行推理、分析，便可快速证明结论.

一般来说，分析法主要适用于证明含有根式、分式、绝对值的不等式;反证法适用于证明从正面入手较为困难的不等式问题;换元法适用于证明不等式结构复杂的问题.有时，可同时使用两个或两个以上的方法来证明不等式，这样能有效地提升解题的效率.

（作者单位：江苏省扬州市高邮市临泽中学）