求空间几何体体积的几种思路

郝云瑞

空间几何体的体积问题侧重于考查简单空间几何体：三棱锥、三棱柱、四棱锥、正方体、长方体、球、圆锥、圆台等的体积公式.对于简单的空间几何体，我们可以直接运用空间几何体的体积公式来求解.而对于一些较为复杂的空间几何体，则需要灵活运用等体积法或者割补法来求解.下面，笔者将结合例题来详细介绍求空间几何体体积的三种思路.

一、采用公式法

对于一些规则的空间几何体，只需要根据几何体的特点，利用线面垂直或面面垂直等性质定理求出几何体的高和底面的面积，然后根据锥体的体积公式V锥体=  Sh、柱体的体积公式 V柱体 =Sh、台体的体积公式 V台体= （S′+  +S）h，求出空间几何体的体积.

例1.如图1所示，在多面体P-ABCD 中，平面PAD上平面ABCD，ABlDC ，APAD是等边三角形，已知 BD=2AD=8 ，AB=2DC=45 ，求四棱锥P-ABCD的体积.

解：过Р作PO上AD于O ，因为平面PADl平面ABCD ，所以POL平面ABCD .由等边三角形的性质可得PO=2、3 .又 ABIIDC ， AB=2DC ，所以四边形ABCD为梯形.在△ABD中，AD3+BD=AB，故AD 上BD .在 Rt△ADB中，斜边 AB边上的高为8./5.则S ARCD="NT+V xo5=24 ，所以 p-ABCD一3

解答本题的关键是确定四棱锥P-ABCD的高.因为平面PAD上平面ABCD ，所以考虑在平面PAD内作四棱锥的高，再计算出底面的面积，便可根据棱锥的体积公式求得问题的答案.

二.割补图形

割补法是指将不规则的几何图形分割或补充为若干个规则的几何体，以便根据简单空间几何体的体积公式解题.通过割补图形，可将不规则的立体图形转变为规则的图形，把复杂的问题转化为简单的运算问题.

例2.四面体ABCD的5条棱长均为3，另外一条棱长为4，求此四面体的体积.

解：如图2，设 CD =4，其余棱长均为3，取 CD 的中点 E，连接 AE，BE，作 EF⊥AB，则 CD⊥平面 ABE，因此 VA -BCD = VD -ABE + VC -ABE = S△ABE ?（CE +ED）= CD ? S△ABE，BE=AE =  = ，则 EF =  =  ，从而可得 VA -BCD = 3CD ?S△ABE=3 ×4× 2AB ?EF=  .

我们通过添加辅助线，将四面体 ABCD 分割为两个三棱锥 D -ABE 以及 C -ABE，分别求得这两个三棱锥的底面面积和高，即可求得四面体的体积.

三、运用等体积法

等体积法通常适用于求三棱锥的体积.由于一个三棱锥有三个底面，无论以哪个面为底面，求得的体积是一样的，所以在求三棱锥的体积受阻时，可转换思路，将三棱锥的底面、高更换，找到更易于求得面積的底面和高，就能顺利解题.

例3.如图3，已知正四棱柱ABCD -A1B1C1D1的体积为36，点 E，F分别为棱 B1B，C1C 上的点（异于端点），且 EF//BC，求 A1-AED 的体积.

解：设正四棱柱的底面边长为图3a，高为 h，则 a2h =36，三棱锥 A1-AED 与三棱锥 A1-DEF 的体积相等，所以 VA1-AED = VE -ADA1= VA1-EDF = S△ADA1× a =2 ×  × a × h × a =12.

由于以三角形 AED 为底，A1为顶点，则很难求得三棱锥的体积，于是运用等体积法，将三棱锥的底面更换为 ADA1，顶点更换为 E，这样便能顺利求得三棱锥的体积.

求空间几何体的体积问题对同学们的直观想象能力和运算能力有较高的要求.在日常学习中，同学们不仅要熟练掌握空间几何体的体积公式，还要灵活运用直观想象能力对几何图形进行割补、转换，这样才能灵活运用公式法、割补法、等体积法解题.

（作者单位：江苏省盐城市明达高级中学）