解答解析几何问题的技巧

2022-05-24石晓鹏

语数外学习·高中版中旬 2022年3期

石晓鹏

解析几何是高中数学中的重要知识模块，也是高考必考的内容.解析几何问题对同学们的综合分析以及运算能力有较高的要求，许多同学经常一看到解析几何问题，就心生怯意.其实，解析几何问题并没有我们想象中的那么难，只要熟悉常见的题型，掌握一些常用的解题途径，就能顺利破解难题.本文主要介绍三种解答解析几何问题的技巧，希望对大家能有所帮助.

一、采用定义法

定义法是运用圆锥曲线的定义来解题的方法.该方法主要适用于解答动点的轨迹问题、距离问题、最值问题、离心率问题、曲线的方程等.在运用定义法解答解析几何问题时，要将“动点与定点之间的距离”与圆锥曲线的定义关联起来，建立关系式，从而顺利解题.

例1.已知椭圆 x2+ y2= 1（a >b >0）的左右两焦点分别为 F1， F2，过F2的直线与椭圆相交于 P，Q 两点，且 PQ ⊥PF1.

（1）若PF1=2+ ，PF2=2- ，求椭圆的标准方程.

（2）若PF1=|PQ|，求椭圆的离心率 e .

解：（1）由椭圆的定义可知：2a =PF1+PF2=2+ +2- =4 ，

∴a =2 .

设椭圆的半焦距为 c，∴PF2⊥PF1，

可知?PF1F2为直角三角形.

∴2c =F1F2= =

即 c = ，∴ b = =1 .

∴椭圆的标准方程为： +y2= 1.

（2）连接 QF1，由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a ，

∴|QF | 1 = 4a - 2|PF | 1 ，|QF | 1 + |QF | 2 = 2a .

由 |PF | 1 = |PQ| 可得 |QF | 1 = 4a - 2|PF | 1 ，

由 PQ ⊥ PF1 ，|PF | 1 = |PQ| 可得 |QF | 1 = 2|PF1| .

∴ 4a - 2|PF | 1 = 2|PF1| ，∴|PF | 1 = 2（2 - 2 ）a ，

∴|PF | 2 = 2a - |PF | 1 = 2a - 2（2 - 2 ）a = 2（ 2 - 1）a .

由 PF2 ⊥ PF1 得 |PF | 1

解答本題，主要运用了椭圆的定义：平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹，建立关系式 2a = | PF | 1 + | PF | 2 ，再根据椭圆方程中 a、b、c 之间的关系以及点、线段之间的位置关系求得椭圆的标准方程、离心率.

二、数形结合

数形结合是解答解析几何问题的重要方法，将数形结合起来，能使抽象的解析几何问题直观化.运用数形结合法解答解析几何问题，通常需根据曲线的方程画出图形，利用圆锥曲线的几何意义建立几何关系，再通过代数运算求得问题的答案.

例 2.已知椭圆 C 的中心与椭圆上的 3 点恰好构成正方形，则椭圆 C 的离心率为（） .

A. 5 –1 B. 3C. 2D. 6

解：设椭圆的方程 x

绘制如图 1 的图形，由正方形的性质可知椭圆长半轴的长等于正方形的对角线长，

则点（）为椭圆上的一点，

可得 1

化简得 a2 = 3b ，则2a2 = 3c，即e = 6

故 D 为正确选项.

根据已知条件，我们无法快速建立关系式，于是绘制出相应的图形，采用数形结合法来解题，通过分析图形，根据正方形的特征，便可明确正方形的对角线与椭圆的长半轴之间的联系，在椭圆上找到一点，从而建立 a、c 之间的关系，运用离心率公式得出正确的选项.通过数形结合，可将问题中的数量关系通过图形直观地呈现出来，这样能有效地提升解题的效率.

三、设而不求

设而不求是指设出相应的参数，并将其代入题设中进行求解，最后通过消参求得问题的答案.该方法常用于求解一些较为复杂的解析几何问题，尤其是含参问题、运算繁琐的问题.在解题时，一般可将与较多变量有关联的量用参数表示出来，然后将其代入题设中，再进行整体代换、消参，使问题得解.

例 3. 已知椭圆的方程为，经过原点 O 的直线与椭圆交 P，A 两点，P 点在第一象限，如图2，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 C ，延长 AC 交椭圆于点 B ，若直线 PA 的斜率为 k ，试证：对于任意 k > 0 ，都有 PA ⊥ PB .

解：联立直线 PA 的方程：y = kx与椭圆的方程

可得 x = ± 2

1 + 2k2 ，设 μ = 2

则 P（ μ，μk），A（-μ，-μk），于是 C（μ，0），

故直线 AB 的斜率为 0 + μk ，其方程为

将其代入椭圆的方程可得：（k ） 2 + 2 x

解得：x = μ（3k ） 2 + 2或 x = -μ（舍去），

所以 B（

则直线 PB 的斜率为 k1 =