对一道与动点有关的数量积问题解法的探究
2022-05-24仲海飞
仲海飞
数量积问题在平面向量中比较常见，此类问题重点考查向量的运算法则、向量的模的公式、向量的数量积公式.本文以一道题目为例，对与动点有关的数量积问题的解法进行探究.
例题：在等腰直角ΔABC 中，∠ABC =90°， BA = BC =2，点 M，N 为边 AC 上的2个动点（其中点 M，N 均不与端点 A，C 重合），且|M N|= ，则 B M?B N 的取值范围是（）.
A.B.（ 2）
C.D.[ +∞）
本题侧重于考查平面向量的三角形法则、向量的模的公式、向量的数量积公式.要求得 B M?B N 的取值范围，需根据动点的位置求得 B M、B N 的最值，或求 B M?B N 的表达式，通过代数运算求得最值.本题有如下几种解法.
方法一：坐标系法
坐标系法是指建立合适的平面直角坐标系，通过向量的坐标运算求得问题的答案.运用坐标系法求解与动点有关的数量积问题，需在建立平面直角坐标系后，求得各个点的坐标，通过向量的坐标运算求得数量积的表达式，得出问题的答案.
解法一：建立如图1 所示的
平面直角坐标系xBy，
则 B（0，0），C（2，0），A（0，2）.
若点 M 与点 A 重合，由图1易知 M（0，2），N（1，1），
所以 B M =（0，2），B N =（1，1），可得 B M?B N =2 .
若点 N 与点 C 重合，可得 B M?B N =2，可排除选项A、D.
若线段 MN 位于线段 AC 的中间位置（即与两条线段的中点重合），由图可知 M（ ， ），N（ ， ），
所以 B M =（ ， ），B N =（ ， ），所以 B M?B N = ×2+ 2× 2= 2，可排除选项B.
综上可知，本题应选C项.
结合图形进行分析，可知需分三种情况讨论 M、 N 的位置，于是采用坐标系法，设出变量，分别求得 M、 N 以及各个点的坐标，便可通过向量的坐标运算求得 B M、B N，得到 B M?B N 的表达式，再根据题目中提供的选项求得问题的答案.
由于点 M、 N 均在直线 AC 上，而且直线 AC 的方程容易求得，所以可先根据点在直线上，设出其中一个点的坐标，再结合图形获得另一个点的坐标，最后利用数量积的坐标公式进行求解.
解法二：如图2 所示，过点 M 作 y 轴的平行线，过点 N 作 x 轴的平行线，设这两条直线的交于点 E，易知ΔMNE 为等腰直角三角形，且直角边的长为1.
由 C（2，0），A（0，2）可知，直线 AC 的方程为 y =2 -x，设N（x，2-x），
由图2可知 M（x -1，3-x），
所以 B M =（x -1，3-x），B N =（x，2-x），
所以 B M?B N =2（x - ）2+ .
又易知1 即.故選C. 方法二：参数法 参数法是解答代数问题的常用方法.运用参数法解题，通常需根据解题需求设出相应的参数，将其代入题设中进行求解，最后通过消参求得问题的答案.对于本题，由于点 M、 N 均在边 AC 上，而直线 AC 经过点 C（2，0），且其倾斜角为135°，所以可考虑利用直线 AC 的参数方程来求解.需要先借助参数求出点 M、 N 的坐标，再利用数量积的坐标公式加以分析. 解法三：由题知可设直线 AC 的参数方程为设点 N 的坐标为（2- t， t），点 M 的坐标为 于是 B M?B N =（2- t）（1- t）+ t（1+ t）=（t - ）2+ . 又0 可得 BM?BN ∈[2，2）.故选C. 解法四：因为点 C（2，0），A（0，2）， 所以向量 C A =（-2，2）， 所以与向量 C A 同向的单位向量 =C（C）A A= ? 设 C N =t =（- t， t）， 则 C M =（t + ）=（-1- t，1+ t）， 故 N（2- t， t），M（1- t，1+ t）. 可得 B M?B N =（2- t）（1- t）+ t（1+ t）=t2- t +2 =（t - ）2+ . 又因为0 该解法灵活运用了平面向量中的一个结论“任何一个非零向量均可用与之共线的单位向量进行线性表示”.由于点 M、 N 均在边 AC 上，所以向量 C N，C M 能够用与向量 C A 同向的单位向量来表示，可引入参数，便可顺利得出点 M、 N 的坐标，运用参数法解题. 通过上述分析可以发现，解答平面向量的数量积问题，可以从多方面进行考虑，最直接的方式是运用坐标系法，将问题转化为向量的坐标运算问题求解;而运用参数法，可巧妙地将动点 M、 N 的坐标表示出来，将问题转化为含参的函数最值问题来求解.在解答平面向量的数量积问题时，要灵活运用数形结合思想以及转化思想，这样能有效地提升解题的效率. （作者单位：江苏省江安高级中学）
