巧构造，妙解题

唐卉

构造法是根据题目的条件与特征，构造出一种新的数学模型，从一种新的角度解题的方法.巧妙运用此方法解题，往往可以将复杂的数学问题转化为简单的问题，达到化难为易、化繁为简的目的.

一、构造方程

方程是指含有未知数的等式.在解题时，我们可根据问题中所给的数量关系和特征，确定一个或几个未知数，从而构造出一个新的方程，然后通过解方程，或运用方程的性质来解题.

例 1 . 若x，y ∈ R ，且 x2 + y2 + xy = 3 ，求 x2 + y2 - xy的最值.

解：由 x2 + y2 + xy = 3 及 x2 + y2 - xy = k 可知

可将 x2，y2看作关于 t 的方程t6 = 0 的两个根，

则判别式△ ≥ 0 ，即 k2 - 10k + 9 ≤ 0 ，

解得1 ≤ k ≤ 9 ，

故 x2 + y2 - xy的最小值为1，最大值为 9 .

将题中的两个代数式进行变形可得出 xy2 的表达式，于是联想到一元二次方程的根与系数的关系，于是构造方程 t2 - k + 32 t + -6k + 9 + k26 = 0 ，根据一元二次方程的判别式大于或等于0建立不等式，从而求得问题的答案.

二、构造函数

用函数可以表示出变量之间的关系.若某个变量与另一个变量之间存在一定的联系，此时我们便可根据题意构造出一个函数模型，利用函数的图象和性质来解题.

例 2 .已知 x，y，z ∈ R ，求证：x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 4xy+6zx - 12yz .

证明：要证明 x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 4xy + 6zx - 12yz ，只要证明 x2 -（4y + 6z）x + 4y2 + 9z2 + 12yz ≥ 0 ，不妨设 f（x）=x2 -（4y + 6z）x + 4y2 + 9z2 + 12yz ，此函数图象的开口向上，其判别式△ =（4y + 6z）2 - 4（4y2 + 9z2 + 12yz）=0 ，由其图象可知，f（x）≥ 0 ，即 12yz ≥ 0 成立，所以 x2 + 4y2+9z2 ≥ 4xy+6zx - 12yz 得证.

此题中的变量较多，并且不等式中的各项都是二次的，难以破解.于是可以确定一个主元，并以其为自变量构造一个二次函数，利用二次函数的图象讨论根的分布情况，即可证明不等式成立.

三、构造数列

当遇见与自然数 n 相关的数学问题时，可以根据题意构造一个数列，运用数列的性质、通项公式、前 n项和公式进行求解.

例 3 .证明：∑k = 1n1k> n （n ≥ 2） .

证明：构造数列{xn}，这里xn =∑k = 1n1k- n ，则

所以xn + 1 >xn，则{xn}是单调递增数列，

从而可得xn + 1 >xn ≥ x2 ，又 x2 =（1 + 12）- 2 = 1 - 22 > 0 ，

所以xn> 0 ，即∑k = 1

欲证含有与自然数 n 有关的不等式 f （n）> g（n） ，可以构造数列模型xn = f （n）- g（n） ，然后设法证明数列是单调数列，并且说明xn> 0 ，且 f （n），g（n） 均为正值，即可运用数列的单调性证明不等式成立.

可见，巧妙运用构造法解题，能使问题快速获解.而运用构造法解题的关键在于构造合适的数学模型，从新的角度思考解题的方案.因此在运用构造法解题时，同学们要仔细审题，明确问题的本质，展开联想，将问题中的未知数、变量、自然数与方程、函数、数列关联起来，然后构造出相应的方程、函数、数列，灵活运用方程、函數、数列的性质以及相关的公式来解题.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）