例谈解答一类比较函数式大小问题的途径

吴屹文

比较函数式的大小问题主要考查对数、指数、幂函数的运算性质以及图象.在学习函数时，我们经常会遇到一类题型：已知三个变量的关系式，比较三个变量或关系式的大小.此类问题一般较为复杂，常以选择题的形式出现.由于问题中涉及的变量和关系式较多，所以很多同学不知如何应对.事实上，解答此类比较函数式大小问题主要有两种途径：取特例和设元.下面我们结合实例作详细说明.

一、取特例

特例法是解答选择题、填空题的常用方法.采用特例法比较函数式的大小，需先明确变量的取值范围，确定某个变量的取值，再据此分析另外两个变量的取值，从而比较出三个变量或关系式的大小.

例1.设x，y，z为正实数，且log2x =log3y = log5z >0，则 ，  ，  的大小关系不可能是（）.

A.  B.

C. D.

解：取 x = 2 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 3，z = 5 ，

此时 x5 ，所以选项C有可能正确.

取 x = 4 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 9，z = 25 ，

此时 x，所以选项A有可能正确.

取 x = 2 ，由 log2 x = log3 y = log5 z 得 y = 3，z = 5 ，

此时 z，所以选项D有可能正确.

综上可知本题应选B.

上述解题过程中综合运用了特例法和排除法.分别根据题意和选项的特点选取合适的特殊值，通过对数运算求得 x、y、z 的值，然后比较出三个函数式的大小.

例2（. 多选题）已知正数x，y，z满足 3x = 4 ，则下列说法中正确的是（）.

A. x +2y = z  B.

C. x +y >（ + ）z  D.

解：取 z =1，由3x=4y = 6可得 x =log36，y =log46，因为 x >1，y >1 .

所以  +  =  +  =log63+  log64=log63+log62= 1=  ，

故选项A正確.

因为  =  = log36? log64=  log34=log3443=log8164< 1，

所以3x <4y .

又因为4y =4log46= 2log26=log236

所以3x <4y <6z，故选项B错误.

因为 x +y =log36+log46=log3（2× 3）+log4（2× 3）=1 + log32+  +log43=  +log32+log43>  +2  =3  = （3+ ）z，故选项C正确.

因为  =  =2log63? log62<2×（）2

所以xy>2= 2z2，故选项D正确.

综上可得，正确的选项是ACD.

本题主要运用特例法来求解.令 z =1，便可求得 x、 y 的值，然后分别将其代入4个选项中，求得各个代数式的值，就能顺利解题.运用特例法比较较为复杂的函数式的大小，只需将合适的数值代入代数式中，通过简单的代数运算就能快速比较出函数式的大小.

二、设元

设元法，也称为设参法.对于比较复杂的比较函数式的大小问题，可根据题意设出参数，将某个代数式或函数式用该参数表示出来，通过对数、指数、幂函数运算，运用对数、指数、幂函数的图象和性质来比较出函数式的大小.

以例1为例.

解：设log2x =log3y =log5z =k，

则 x =2k ，y =3k ，z =5k ，

所以  =2k -1，  =3k -1，  =5k -1 .

又易知k >0，只需根据 k 与1 的大小关系对各个代数进行讨论即可.

若 k =1，则  =  =  =1，所以选项 C 有可能正

若0 3k -1 >5k -1，

所以<<，所以选项D有可能正确.

若 k >1，则根据函数 f（t）=tk -1 在（0，+∞）上单调递增可得2k -1 <3k -1 <5k -1，

即<<，所以选项A有可能正确.

综上可得< x < z 不可能，故选B项.

我们通过设元，将已知关系式变形，就能把问题转化为比较2k -1、3k -1、5k -1 的大小，再根据幂函数 f（x）=xk -1 的单调性加以讨论分析，即可解题.解答本题特别要注意的是，幂函数 y =xα 在（0，+∞）上的单调性可分为三种情况：当 x >1 时，①若α>0，则函数单调递增;②若α=0，则函数无单调性（为常数函数）;③若α<0，则函数单调递减.

以例2为例.

解：设3x=4y = 6z=k，

则 x =log3k，y =log4k，z=log6k，且 k >1 .

于是  +  =  +  =logk3+  logk4=logk3+logk2=logk6=  ，

故选项A正确.

因为  =  = log3k ? logk4=  log34=log3443=log8164< 1，

所以3x <4y .

因为  =  = log4k ? logk6=  log46=log6436<1，

所以4y <6z .從而可得3x <4y <6z，故选项B错误。

因为 x +y =log3k +log4k =log6k ? log36+log6k ? log46=log6k ?（log36+log46）=log6k ?（ +log32+log43）>log6k ?（ +2 ）=（ + ）? log6k =（ + ）z，

所以 x +y >（ + ）z，故选项C正确.

因为  =  =2logk3? logk2<2×（）2= （logk6）2，

所以xy>  =2（log6k）2= 2z2，故选项D正确.

综上可得，正确的选项是ACD.

对于选项 B，还可这样分析：因为3x =3log3k = log3 k，4y =4log4k =log4 k，根据函数 f（x）=logxk（k >1）在区间（1，+∞）上单调递减可知log3 k

我们设出参数k，然后将其代入已知条件和选项中进行运算，便可快速比较出各个函数式的大小.运用设元法比较指数函数式的大小，只需将连等的指数式设为参数，再将指数式转化为对数式，然后利用对数的运算法则或其他知识加以分析即可.

无论是运用特例法，还是采用设元法，都能将复杂的比较函数式大小问题转化为简单的函数运算问题来求解，这样有利于提升解题的效率以及运算的正确率.比较函数式的大小问题对同学们运算能力的要求较高，在解题的过程中同学们要熟练运用指数、对数、幂函数的运算性质、单调性，并学会灵活运用数形结合思想来辅助解题，这样才能让解题变得更加高效.

（作者单位：甘肃省平凉市静宁县威戎中学）