杆的中点速度求解及验证

陈泽安 阙志武

（1.河北省霸州市第四中学，河北 霸州 065700；2.江西省南城一中，江西 抚州 344700）

题目.如图1所示，在光滑的水平面内建立直角坐标系，长为L的光滑细杆AB的两个端点A、B分别约束在x轴和y轴上运动，现让A沿x轴正方向以速度v0匀速运动，已知P点为杆的中点，当杆AB与x轴的夹角为β时，关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v表达式正确的是

图1

（A）P点的运动轨迹是圆的一部分.

（B）P点的运动轨迹是椭圆的一部分.

（C）P点的运动速度大小v=v0tanβ.

答案：（A）、（D）.

对选项（D），我们先从高中阶段求解，再从“刚体的平面运动是随基点的平动及绕基点的转动这两种基本运动所合成”这一角度，选取不同的基点求解，并可求出杆的角速度，验证“角速度与所选基点无关”的规律.

1 高中阶段解法

图2

2 选取基点解法

2.1 选A为基点

2.2 选C为基点

作平面运动的刚体（薄片）的角速度不为0时，在任一时刻薄片上恒有一点的速度为0（但是加速度不为0），这点叫做转动瞬心.利用这一事实，只要知道薄片上任何两点的速度方向，我们就可以利用几何法求出转动瞬心的位置.如图3所示，通过点A、B分别作A、B两点速度方向的垂线，交点即转动瞬心C.

图3

2.3 选D为基点

在AB杆上寻找一点D，该点满足速度方向沿杆，垂直杆方向投影为0.如图4所示，令DA=x.沿杆方向v0cosβ=vBsinβ.

图4

垂直杆方向

联立解得

所以P点对地速度为

杆的角速度为

需要注意的是

（2）上述寻找D点过程繁琐，我们还可以通过作图法寻找D点，并简明计算DA长度.如图4所示，通过瞬心C作AB杆的垂线段，垂足为D，D点就是要寻找的转动中心D.因为D点只有沿杆速度，C为转动瞬心，而线速度与半径垂直，所以CD垂直杆AB也垂直D点速度.由几何关系可得，AC=L sinβ，DA=AC·sinβ=L（sinβ）2.

3 解读及验证

3.1 解读

上述解法各有特点：高中阶段的解法1，通过正交分解，结合几何关系，得到速度分量，对于非中点也方便求解；解法2可得P点轨迹方程，但是P点非杆中点时，轨迹为椭圆，速度与杆的夹角求解相对繁琐；选A为基点可能适用于一部分高中生，能力要求较高；选C为基点中的转动瞬心属于大学知识，教师可以作为参考理解，该方法计算相对简单；选D为基点，能够使我们认清A、B两点速度的垂直杆分量是绕哪点而转，即转动中心D点.综合以上求解，我们对杆的平面运动有了更全面、更清晰的认识.

3.2 验证

我们知道，角速度是描写整个刚体的运动学量，故与所选的基点无关，［1］具体证明可参考文献，［2］下面给出说明.

图5为一位置状态，图6为二位置状态，从一位置到二位置可以认为是随基点A的平动和绕A的转动，也可以认为是随基点B的平动和绕B的转动.由图7可知，绕A和绕B的转动角度相等，角速度与所选基点无关.

图5

图6

图7