合理变形递推式，求数列的通项公式

蒋宇

求数列的前 n 项和，通常需重点研究数列中各项的规律，将递推式或通项公式进行合理的变形，把它转化为简单的运算问题，直接根据等差、等比数列的前 n 项和公式求得数列的和.下面重点谈一谈求数列前 n 项和的方法.

一、公式法

若已知数列为等差、等比数列，则可直接运用公式法求和.对于等差数列，可运用等差数列的前 n 项和公式：Sn = na1 + n（n - 1）2 d 求和;对于等比数列，可运用等比数列的前 n 项和公式：Sn =求和.只需根据等差、等比数列的定义或通项公式求得数列的首项、公差、公比，就能运用等差、等比数列的前 n项和公式进行求和.

例 1.已知数列 {an} 是等差数列，其前 n 项和为Sn ，a3 = 2a5 - 2 ，求 S13 的值.

解：已知数列{an} 是等差数列，设其首项为 a1 ，公差为 d ，

由 a2 = 2a4 - 4 得 （a1 + 2d） = 2（a1 + 4d） - 2 ，

可得：a1 + 6d = a7 = 2 ，

由等差数列的求和公式得 S13 = 9 × （a1 + a13）2 =9 × 2a72 = 18 .

解答本題，需先根据已知关系式和等差数列的通项公式求得 a7 的值，然后根据等差数列的前 n 项和公式：Sn = n（a1 + an）2 ，利用等差数列等差中项的性质，将S13 转化为 a7 的倍数，从而求得数列的前13项的和.

二、分组求和法

若一个数列由几个等差数列、等比数列的和构成，在求数列的前 n 项和时，可采用分组求和法，将数列中的各项进行拆分，然后将通项公式相同的等差数列、等比数列组合在一起，再分别根据等差、等比数列的前 n 项和公式进行求和，最后将这些数列的前 n 项和相加即可.

例2.在数列{an} 中，a1 = 2 ，an + 1 = 4an - 3n + 1 .

（1）证明：数列{an - n} 是等比数列;

（2）求数列{an} 的前 n 项和 Sn .

解：（1）an - n = 4n - 1（过程略）;

（2）由（1）得数列{an}的通项公式为 an = n + 4n - 1，

因此，Sn = 1 + 41 - 1

+ 2 + 42 - 1

+…+ n + 4n - 1，

= （1 + 4 + 4 ） 2 +…+ 4n - 1 + （1 + 2 + 3 +…+ n）

= 4n - 13

+ n（n + 1）

2 ，

所以数列{an} 的前 n 项和 Sn = 4n - 13

+ n（n + 1）2 .

仔细观察数列的通项公式可发现，数列{an}是由等差数列{n}和等比数列{4n - 1}的和构成的，于是将该数列分为两组：一组为等差数列，一组为等比数列，然后分别根据等差、等比数列的前 n 项和公式求得数列的和.

三、裂项相消法

若一个数列的通项公式为分式，则可采用裂项相消法来求和.首先将数列的通项公式裂为两项之差的形式，并使前后项能够相互抵消，这样在求和时，数列中间的部分项便会相互抵消，和式得以简化.运用裂项相消法求和，只需找到恰当的裂项方法，便能将此问题转化为简单的计算问题.

例3.已知an = 1n + 1+ 22n + 1+…+ nn + 1，bn = 2anan + 1，求数列{bn} 的前 n 项和.

解：因为 an = 1

所以 an = 1

而bn = 2，所以 bn = 2

故Sn = 8é

因此，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn = 8n

将 bn 的表达式进行整理，可发现该式为分式，且可裂为两项之差的形式：n + 1 ，于是采用裂项相消法进行求和.将绝对值相等、符号相反的项抵消，化简剩下的项即可求得{bn} 的前 n 项和.

相比较而言，公式法较为简单，且适用范围较为广泛，分组求和法、裂项相消法虽然较为复杂，但是我们只要仔细研究数列的通项公式，将其进行合理的分组、裂项，便能顺利将求数列和问题转化为简单的等差、等比数列求和问题或计算问题，快速求得答案.

（作者单位：江苏省洪泽中学）