机床热误差测温点优化及建模方法研究

李焕昭，张爱梅，裴雪巍

（郑州大学机械与动力学院，河南 郑州 450001）

1 引言

机床热误差大约能够占机床总误差的（40～70）%［1］。虽然可以通过改进机床结构和材料来减小热误差，但在实际加工过程中不能完全消除热误差，实施难度大、成本高。因此，探索出一种通过补偿方法来减小热误差对机床的影响非常必要的［2］。

机床热误差补偿研究存在两个问题，一是温度测量点的选择，二是建模方法。为了保证模型的鲁棒性、实时性和计算有效性，需要选择合理有效的温度测量点。文献［3］采用灰色综合相关法对测温点进行优化。文献［4］采用模态分析方法得到机床温度测量点。文献［5］采用模糊聚类方法对温度测量点进行优化，降低了自变量的维数，提高了模型的稳定性。机床热误差建模方法一般可分为理论方法和数理统计方法。理论建模方法主要采用有限元法对建立的机床模型进行加载和求解［6-7］，但边界条件难以确定，导致模型精度较低。数学建模方法主要包括支持向量机［8］、最小二乘法［9］、贝叶斯网络法［10］等统计方法。但现有补偿方法仍然存在着精度不足、缺乏鲁棒性的问题。为此，提出了基于DBSCAN聚类算法的温度传感器测点优化方法和基于BP神经网络的数控机床建模方法，提高了模型的鲁棒性、实时性。

2 基于DBSCAN优化传感器数据

2.1 获取机床与主轴热位移数据

2.1.1 实验对象及材料

CA系列机床是一种通用机床，广泛应用于基础加工制造业。选择CA系列机床作为实验对象具有一定的代表性。采用omron光纤同轴型ZW系列位移传感器和非接触式红外温度传感器，如图1所示。激光位移传感器分辨率可达0.001mm，采集软件采用RJ45网线接口与采集器（左下图）进行通讯。红外温度传感器分辨率为0.1℃，采用USB 与采集器（左上图）通讯，数据统一保存为.csv格式。

图1 温度及位移数据采集设备及软件Fig.1 Temperature and Displacement Data Acquisition Equipment and Software

实验中，在机床发热关键点位置设置了16个温度传感器，其位置，如图2所示。T17为位移传感器测量位置，主要测量机床主轴的X向位移数据。

图2 温度传感器的布置Fig.2 Location of Temperature and Displacement Sensor

三个温度传感器T1至T3用于测量机床的温度。T4用于测量电机温度的。T5用于测量主轴头的温度。T6用于测量导轨中部温度。T7、T8分别测量导轨与机身交界处左右两端的温度。T9和T10测量主轴前轴承温度。T11和T12测量主轴后轴承温度。T13和T14测量减速齿轮箱温度。T15和T16测量主轴温度。位移传感器17 号布置在主轴X方向的下部，如图2 所示。分别在1000r/min和1400r/min下获得温度和位移数据，测量频率为60/min，共采集数据3600组。实验过程中要考虑到环境温度的影响，通过查阅资料获取厂房的年平均温度，尽量使测温的时间段时的温度处于年平均温度值附近。现场实验条件温度在20℃左右，基本在整年平均温度左右浮动，因此符合我们的测试条件。尽量模拟实际加工工况，实时记录相同间隔时间的温度情况，当温度趋于平衡时，关闭机床，并记录温度数据至室温。

2.2 数据处理

2.2.1 异常值捕获方法

由于测量环境或人为因素的影响，会出现异常数据集，影响模型的精度。因此采用箱型图法获取出异常值索引，基于拉格朗日插值法对索引位置的异常值进行插值处理，使数据接近实际值。绿色部分方框的上下边缘线代表着数据的上下四分位数，其中下四分位数为U1=(n+1)/4，n为数据的个数；上四分位数为U3=3(n+1)/4；上边缘和下边缘线为上限和下限，通过计算四分位距IQR=U1-U3，得到上限为U1+IQR，下限为U3-IQR；位于上下限之外的是异常值，从图中可以看出小黑点代表异常值，箱型图，如图3所示。

图3 箱型图筛选异常值Fig.3 Box Chart Method to Filter Outliers

2.2.2 异常值处理方法

假设温度测量点的顺序值为Tn(y1，y2，…ym)，Tn代表传感器号n=1，2…17。y是测量数据m=(1，2…3600)。异常值的位置为c，则位置c的值应为L(xc)，选取异常值前后4个数据进行插值计算，并将异常值由L(xc)代替，计算方法见（1）和（2）。

通过拉格朗日插值法来替换异常值能够使数据更加平滑，接近于实际数据。

2.3 聚类分析

上述获取到的温度与位移据量非常大，在不同的测温点之间会存在一定的线性关系，假设数据集为X，根据线性代数知识也就是矩阵XT为非满秩矩阵。如果用数学语言进行描述：对于向量组T1，T2，…T16，存在不全为0 的k1，k2，…kn能够使得k1T1+k2T2+…knT16=0。非满秩矩阵也就代表存在大量的冗余数据，因此我们要去除这样的冗余特征向量。采用密度聚类方法能够有效的降低冗余数据。DBSCAN是非常常用的密度聚类方法。它的核心思想是通过一个点在其ε（常数）邻域中的邻域点的数目来测量该点的空间密度。它可以计算形状奇特的簇中心。此外，在聚类分析中不需要设置聚类中心的数目。程序将根据相邻半径和相邻半径内的点数自动生成簇中心。聚类结果，如表1所示。

表1 测温点温度数据聚类结果Tab.1 Temperature Data Clustering Results

通过DBSCAN聚类将16个温度测量点分为5类。测温点被分为五类，第一类包括T2、T4、T13、T14；第二类包括T11、T12、T16；第三类包括T1、T9、T10、T15；第四类包括T7；第5类包括T3、T6、T8，如表1所示。每个类别内包含的特征数据个数是不相同的为了达到我们降维、优化的目的，我们需要从每个类别中选取部分特征数据作为筛选出的特征数据，并将对应位置作为我们的测温点。

通过皮尔逊相关系数法，从每组中选出误差相关最大的温度测量点，并将选定的温度测量点作为最佳温度测量点。相关系数的计算方法如（3）。

式中：ρTijVij—温度与热误差的相关系数；Tij—温度测量点的温度数据；i—传感器号；j—测量次数；V—热位移值。

皮尔森相关系数的计算结果，如图2所示。在图2中为方便描述，只列出了相关系数最大的特征数据（测温点）。

各组的最大相关系数分别为T13、T16、T15、T7和T3，如表2所示。采用聚类分析方法，将温度测量点从16个优化到5个，降低了数据维数，提高了模型的训练速度。

表2 每个类别中相关系数最大的测温点数据Tab.2 Temperature Measurement Point Data with the Largest Correlation Coefficient in the Category

3 构建BP神经网络模型

3.1 构造神经网络

机床各点温度与热误差之间是非线性动态关系。构造BP神经网络进行非线性数据拟合，这里采用双隐层神经网络，图中：Xi—输入值；O—主轴位移的输出值；wij—温度数据输入到隐层的权重；wjk—隐藏层到隐层的权重；wk1—隐藏层到输出层的权重，神经网络的结构，如图3所示。

图4 神经网络结构Fig.4 Neural Network Structure

如（4）所示构造输入矩阵X数据集，每行对应的值为热位移值。

式中：Tij—输入值。i=(1，2，…n)为特征数据j=(1，2，…m)—特征数。

定义损失函数为E：

式中：Y—预期值；

O—网络的输出值。

采用梯度下降法求解误差E的梯度：

导出误差反向传播矩阵：

式中：α—学习率；

3.2 数据增强

为扩增数据集大小和提高模型的泛化能力，采用随机动态误差方法对数据进行增强，生成1000对随机数作为数据集的行列索引，即[rows，cols]，选择对应位置的数添加动态噪声，其中动态噪声：由蒙特卡洛算法生成的（0～1）的符合正泰分布的数据，假设为a，将a乘以2将区间变换为（0～2），并乘以-1n，即，-1n×2a。将添加动态噪声后的数据集添加至原数据集，完成数据集扩增。

3.3 网络训练建模

根据7：3 比例将数据集训练集和测试集，学习率设置为0.01，迭代次数最大为10000。处理后的T13、T16、T15、T7、T3点数据作为模型输入，热误差作为输出。经过训练得到机床热误差模型，其预测结果，如图5所示。

图5 机床热误差模型预测结果Fig.5 Prediction Results of Thermal Error Model of Machine Tool

图中实线代表真实值，小圆点代表预测值，细点线代表残差。模型得分可达0.94。

模型得分计算方法为（8）：

式中：Y—实验值；

O—预测值。

模型预测结果的最大残差为0.012mm，残差的标准差为0.33mm。可以看出，根据BP网络构建的机床热误差模型预测效果较好，能够满足实际加工补偿要求。

4 结论

（1）DBSCAN 聚类方法可以有效地将温度测量点从16 个减少到5个，为误差模型选择合适的温度测量点。

（2）BP神经网络方法能很好地预测机床的热误差，模型得分可达0.94。

（3）训练后的模型可以嵌入至机床控制中心。计算中心根据机床的温度信号预测机床的热误差，然后控制机床控制器进行误差补偿。