导数与函数的零点易错题剖析

2022-05-19河南省许昌市建安区第一高级中学田吉龙

中学生数理化(高中版.高考数学) 2022年5期

关键词：极值易错交点

■河南省许昌市建安区第一高级中学田吉龙

高考中函数的零点主要考查零点所在区间——零点存在性定理,数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中常用到函数的零点,方程思想,与图像交点的转化等知识。下面就函数的零点问题总结同学们的失分情况,为同学们的复习备考提供帮助。

题型一、判断零点个数

例1设函数f(x)=lnx+,m∈R,讨论函数g(x)=f＇(x)-的零点个数。

解析:由题设得g(x)=f＇(x)-。

令g(x)=0,得m=+x(x＞0)。

设φ(x)=+x(x＞0),则φ＇(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)。

当x∈(0,1)时,φ＇(x)＞0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ＇(x)＜0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减。

所以x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1是φ(x)的最大值点,所以φ(x)的最大值为φ(1)=。

作出φ(x)=+x(x＞0)的大致图像,如图1所示。

图1

又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图像可知:

①当m＞时,函数g(x)无零点;

②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;

③当0＜m＜时,函数g(x)有两个零点;

④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点。

综上可得,当m＞时,函数g(x)无零点;

当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;

当0＜m＜时,函数g(x)有两个零点。

易错点分析:(1)函数的零点是一个实数,且必须在定义域内;(2)画函数图像时要注意最大值或者最小值,图像是否与x轴有交点等特殊情况。

例2已知函数f(x)=exsinx(e是自然对数的底数),f＇(x)是f(x)的导函数。

(1)证明:当x∈时,f(x)+(xπ)·f＇(x)≥0;

(2)记g(x)=f(x)-ax,若0＜a＜3,讨论g(x)在(0,π)上的零点个数。（参考数据≈4.8）

解析:(1)由题意得f＇(x)=ex(sinx+cosx)=。

当x∈时,要证f(x)+(x-π)·f＇(x)≥0,即证sinx-(sinx+cosx)(xπ)≥0。

设h(x)=sinx-(sinx+cosx)(xπ),x∈,则h＇(x)=cosx-(sinx+cosx)-(sinx-cosx)(x-π)=-sinx-(sinx-cosx)(x-π)＜0。

所以h(x)在区间上为减函数,故h(x)≥h(π)=0,即原命题得证。

(2)由已知得g(x)=exsinx-ax,则g＇(x)=ex(sinx+cosx)-a。

设φ(x)=g＇(x),则φ＇(x)=2excosx。

当0＜x＜时,φ＇(x)＞0;当＜x＜π时,φ＇(x)＜0。

所以g＇(x)在上单调递增,在上单调递减。

又g＇(0)=1-a,g＇(π)=-eπ-a＜0。

①若1-a≥0,即0＜a≤1,则g＇(0)≥0,故＞0,所以存在x0∈,使得g＇(x)=0。

当0＜x＜x0时,g＇(x)＞0,函数g(x)单调递增;

当x0＜x＜π 时,g＇(x)＜0,函数g(x)单调递减。

所以x=x0是g(x)的极大值点。

由g(0)=0,得g(x0)＞0,又g(π)=-aπ＜0,故由零点的存在性定理得g(x)在(0,π)上有且仅有一个零点。

②若1＜a＜3,则g＇(0)=1-a＜0。

因为g＇(x)在上单调递增,在上单调递减,,所以存在,使得g＇(x1)=g＇(x2)=0,且当x∈(0,x1)或x∈(x2,π)时,g＇(x)＜0;当x∈(x1,x2)时,g＇(x)＞0。

故g(x)在(0,x1)和(x2,π)上单调递减;在(x1,x2)上单调递增。

因为g(0)=0,所以g(x1)＜0。

又g(π)=-aπ＜0,故由零点存在性定理得g(x)在(x1,x2)和(x2,π)上各有一个零点。

综上可得,当0＜a≤1时,g(x)在(0,π)上有且仅有一个零点;

当1＜a＜3 时,g(x)在(0,π)上有两个零点。

易错点分析:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图像,然后将问题转化为函数图像与x轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用。由f(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图像的交点问题。在判断零点个数时要注意单调性与函数零点之间的联系,单调函数在区间内至多有一个零点。

题型二、函数零点偏移问题

例3已知函数f(x)=-2lnx(a∈R,a≠0)。

(1)求函数f(x)的极值;

(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1＜x2),且a=4,证明:x1+x2＞4。

解析:(1)由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f＇(x)=。

若a＜0,则f＇(x)＜0,f(x)在(0,+∞)上是减函数,所以f(x)在(0,+∞)上无极值。

若a＞0,当x∈(0,)时,f＇(x)＜0,f(x)在(0,)上是减函数;

当x∈(,+∞)时,f＇(x)＞0,f(x)在(,+∞)上是增函数。

故当x=时,f(x)在(0,+∞)上的极小值为=1-lna,无极大值。

(2)当a=4时,f(x)=-2lnx。

由(1)知,f(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,x=2是极值点,又x1,x2为函数f(x)的零点,所以0＜x1＜2＜x2,要证x1+x2＞4,只需证x2＞4-x1。

因为f(4-x1)=-2ln(4-x1)=-2x1+4-2ln(4-x1),又因为f(x1)=-2lnx1=0,所以f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1)。

令h(x)=2lnx-2x+4-2ln(4-x)(0＜x＜2),则h＇(x)=＞0。

所以h(x)在(0,2)上为增函数,所以h(x)＜h(2)=0,所以f(4-x1)＜0=f(x2),所以4-x1＜x2,即x1+x2＞4,问题得证。

易错点分析:(1)极值是函数在极值点处的函数值,注意与极值点的区分;(2)利用分析法证明零点偏移问题。如本题中,由x1,x2为函数f(x)的零点,可得0＜x1＜2＜x2,要证x1+x2＞4,只需证x2＞4-x1,f(4-x1)=2lnx1-2x1+4-2ln(4-x1),利用代换使得两个变量转化为一个变量,进而得到证明。