天才与凡人

摘要：数学教育目标的确定应当立足于大多数学生，这也是我们为什么应当超出数学从更一般的角度进行分析的主要原因。除去与艺术的对照，文化的视角也可在这方面给我们重要的启示：应当切实抓好“入”与“出”这样两个关键词，努力创建好的“数学课堂文化”与“数学教学共同体”。

关键词：数学教育;数学核心素养;文化视角;数学课堂文化

美国数学家保罗·洛克哈特认为，数学如同音乐、绘画及诗歌一样，也是一门艺术。② 保罗·洛克哈特.一个数学家的叹息——如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界[M].高翠霜，译.上海：上海社会科学院出版社，2019：12，43。相关人士对他关于我们应当如何从事数学教学的主张提出责疑：不是每个人都是当艺术家的料，那些没有“数学天分”的孩子怎么办？②

现实中又的确存在这样一个明显的差异：相对于“自己的孩子没有数学天分”，家长似乎更加可以心平气和地接受“自己的孩子不是当艺术家的料”，包括认同一般学校中的艺术教育应以提升学生的艺术素养为基本目标。

那么，我们究竟该如何看待数学教育中的相关现象呢？

一、 数学教育要给学生更多的探索机会，鼓励“有指导的再创造”

事实上，保罗·洛克哈特在自己的著作中也正是以艺术教育为背景对数学教育的现状提出了批评：“一位音乐家满身大汗地从噩梦中惊醒。梦中，他发现自己置身于一个奇怪的社会，那里的音乐教育是强迫性的。‘我们是要帮助学生，让他们在这个越来越多声音的世界上，变得更有竞争力。”②③④ 保罗·洛克哈特.一个数学家的叹息——如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界[M].高翠霜，译.上海：上海社会科学院出版社，2019：23，2425，26，38。具体地说，保罗·洛克哈特所批评的主要是这样一种教学方式：“在小学和中学阶段，学校的任务就是训练学生使用这种语言——根据一套固定的规则绕着符号打转：‘音乐课就是我们拿出五线谱纸，老师在黑板上写下一些音符，然后我们抄写下来，或是转换成其他调。我们必须确定谱号和调号的正确性，而我们的老师对于四分音符是否涂满，要求非常严格……较高年级的学生，压力就真的来了。毕竟，他们必须为标准化的测验和大学入学考试做准备。学生必须修习音阶（scales）和调式（modes）、拍子（meter）、和声（harmony）、复调（counterpoint）等课程。‘他们得学习一大堆东西，但是等到大学他们终于听到这些东西，他们将会很感激在高中所做的这些努力。当然，后来真的主修音乐的学生并不多，所以只有少数人得以聆听到‘黑色豆芽菜所代表的声音。”②以下则是洛克哈特给这一“梦境”设计的结尾：“这位音乐家一身冷汗地从梦中醒来，庆幸那只是一场疯狂的梦境。他跟自己说：‘当然，没有哪个社会会将这么美妙又有意义的艺术形式，分解到这么不需动脑又支离破碎;也没有哪种文化会这么残酷地剥夺孩子们这种展现人类情感的自然手段。这真是荒谬呀！”③

以上论述事实上对数学教师的教学提出了更高的要求：我们应给学生更多的探索机会，从而让他们获得创造性工作的真切体验，并能因此喜欢上数学。

不难想到，这也是现实中人们何以对“学数学，做数学”这一主张普遍持肯定态度的主要原因，即认为我们应当让学生通过“做数学”来“学数学”。

当然，对于所说的“学数学”，我们又不应仅仅理解成具体数学知识和技能的学习，而应将情感、态度与价值观的培养也考虑在内，特别是，应让学生真切地感受到数学的魅力，从而真正地爱上数学。对于“做数学”，我们也不应简单地理解成“动手实践”。我们不应通过使数学变得简单、容易让学生爱上数学，比如让他们通过游戏来学习数学，或是完全放弃关于严格证明的要求。恰恰相反，我们应当帮助学生学会坚持，学会面对失败，并由相应过程感受到更深层次的一种快乐：由探究和发现带来的快乐，由智力满足带来的快乐。与此相对照，“如果你不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——你就是不让他们学习数学”④。

从同一角度我们也可更好地理解荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔提出的“再创造”原则，即认为应当让学生通过“重复”历史上的发明创造来学习数学。

但从实践的角度看，仍然存在这样一个问题：上述主张是否真的可行？因为，毕竟大多数学生都不是数学天才，而是凡人。也正是基于这样的考虑，弗赖登塔尔后来就将自己的主张变成了“有指导的再创造”，即认为教师应当在这方面发挥重要的指导作用。

二、 数学教师需提供必要的示范和支持，从更广泛的角度认识数学教育的价值

那么，数学教师究竟应当如何从事指导工作呢？以下是两个特别重要的方面：第一，必要的示范，从而帮助学生弄清努力的方向;第二，鼓励学生积极开展探究，包括给予他们必要的支持。

我们还应从上述角度理解“作业教学”的重要性。这方面的工作绝不应满足于简单意义上的“问题解决”，即学生能够顺利地完成作业，而应使他们通过实际从事解题活动有更大的收获，特别是逐步爱上数学。

为了更清楚地说明问题，我们还可从文化的视角作出进一步的分析。

就小学低年级学生而言，学习数学就像进入了一个新的国家、一个新的文化环境。显然，在刚刚进入一个新的国家、一个新的文化环境时，新进者的首要任务就是很好地了解并努力地适应当地的风俗习惯，包括不同的语言文字、行为方式与道德规范等。這也正是教师应当帮助低年级学生较好地完成的一项任务，也就是很好地了解并努力适应这样一种新的思维方式和工作方式：数学家的思维方式与工作方式。这主要是一个规范化的过程。

当然，数学教学不应停留于纯粹的“外部规范”，从而使学生始终处于“无可奈何地适应”这样一种完全被动的状态，而应高度重视如何使学生由被动转向主动，即能够很好地理解数学思维方式与工作方式的合理性与必要性，从而能够发自内心地欣赏，并能自觉地融入其中。容易想到，后者事实上也可被看成一个新进者是否真正融入了一个新的国家、一个新的文化环境的主要标志。

在此还应特别强调这样一点：由“了解和适应”向“理解和欣赏”的转变并不局限于小学低年级，而有着更大的普遍性。例如，这也是小学毕业生进入中学后必须很好地实现的一项转变，即由“初等数学思维”转向“高层次数学思维”。这也就是指，他们不仅应当很好地适应“概念的明确定义”与“结论的严格证明”这样两个要求，也应很好地理解这一转变的合理性与必要性。

综上可见，采取文化的视角确可为我们改进教学提供有益的启示。但是，就我们目前的论题而言，仍然存在这样的问題：并非所有的新进者都能很好地适应乃至真心喜欢新进入的国家或文化环境。

更重要的是，在此所涉及的又不只是可行性问题，还包括所说的“适应和欣赏”是否真有必要，或者说，我们是否应当要求所有的学生都真正喜欢数学。

事实上，正如先前关于艺术教育的分析所表明的，我们或许不仅应当接受“并非所有的孩子都有‘数学天分”这样一个结论，而且根本不应要求所有的学生都爱上数学！

进而，从同一角度，我们也可更好地理解积极提倡“核心素养”的重要性，包括这样一点，即我们应当跳出狭隘的专业视角，并从更广泛的角度认识数学教育的价值。这也就是指，数学教育对于提升个人与社会的整体素养究竟有哪些特别重要甚至是不可取代的作用。

再者，相信大家从同一角度也可很好地认识以下主张的局限性，即认为我们应将所谓的“三会”（“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”）看成数学教育的终极目标。具体地说，数学思维显然只是文学思维、艺术思维、哲学思维、科学思维等多种思维方式中的一种，它们都有一定的合理性和局限性。而且，并非所有的学生将来都要用到数学思维，数学思维也并非适用于所有的工作和场合。对于“数学语言”和“数学眼光”，我们也可作出同样的分析。

三、 一个重要的启示：要突出“入”，也要重视“出”，努力创建好的“数学课堂文化”与“数学教学共同体”

我们究竟应当如何把握数学教育的基本目标，或者说数学核心素养的具体内容呢？除去已提到的“可行性”和“必要性”以外，笔者以为，相关主张还应很好地实现这样一个要求，即论述上简单明了、实践中切实可行。

相信大家由以下两个实例可在这方面获得直接启示，尽管它们所论及的都只是语文教育，是关于语文核心素养的实践性解读：“‘培养终身阅读者，培养负责任表达者，是我校历经多年锤炼并在2012年最终确立的语文学科宣言，是我们坚定的学科信念、行动指针。今天，这也是用我们自己的句子表述的语文核心素养。”唐江澎.培养终身阅读者，培养负责任表达者[J].人民教育，2017（3/4）：69。

“学科的育人价值是什么？基于学科特质学生需要的核心又是什么？对这两个问题的追问，是核心素养落地的关键。

“2009年，重庆市巴蜀小学提出了‘爱读书、善思考、会表达9个字的语文学科核心价值追求。2015年，学校开始研究学科核心素养，并对巴蜀小学的育人特质进行了再次修改和校本化解读。”丁小彦.是什么决定了教室的尺度？[J].人民教育，2017（3/4）：106。以下再对数学教育与语文教育的基本目标做统一分析。

这是台湾作家林清玄先生关于“什么是幸福”的论述：“要通过生命不断的转弯，发现多元的样貌，而不要生活在一元的状态下”;“今天比昨天慈悲，今天比昨天智慧，今天比昨天快乐，这就是成功”。笔者以为，这里所说的“今天比昨天慈悲”就涉及语文教育的目标：“什么是重要的事情呢？一是爱，能爱，能表达爱;二是美，懂美，追求美;三是情，有爱，有情感;四是义，正义的义;五是感动，美好的情感能被激发。”林清玄.“幸福，是打开内心的某个开关”[N].新华日报，20140917（15）。这也就是指，语文教育应让学生具有满满的爱心！

与此相对照，数学教育的主要任务则是让学生一天比一天更加智慧，一天比一天更加聪明，即我们应当通过数学教育努力促进学生思维的发展，特别是努力提升他们的思维品质，并由理性思维逐步走向理性精神。

简言之，如果说“用诗意的语言感染学生”是语文教师应当努力实现的一个境界，那么，数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。

为了清楚地说明问题，在此特别转引著名数学家、“问题解决”现代研究的主要倡导者波利亚的论述：“一个教师，他若要同样地去教他所有的学生——未来用数学和不用数学的人，那么他在教解题时应当教三分之一的数学和三分之二的常识。对学生灌注有益的思维习惯和常识也许不是一件太容易的事，一个数学教师假如在这方面取得了成绩，那么他就真正为他的学生们（无论他们以后是做什么工作的）做了好事。能为那些70%的在以后生活中不用科技数学的学生做好事当然是一件最有意义的事情。”乔治·波利亚.数学的发现（第二卷）[M].刘景麟，曹之江，邹清莲，译.呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981：182。这段论述不仅清楚地表明了我们应当如何把握数学教育的基本目标，以此为依据，我们也可更清楚地认识到简单地提倡“三会”的错误性。

还应强调的是，上述论述中所提到的“思维习惯和常识”可被看成这一论述的核心。当然，我们所提倡的并不是重新回到人们由日常生活和工作所已形成的思维习惯和常识，而是它们在更高层次的重构。

在笔者看来，从同一角度，我们也可清楚地认识到“整合教学”的局限性：如果过早地提倡“不同学科的整合”，乃至“基础学科的去学科化”，包括完全脱离专业学习去谈论“个人品质与气质”等一般性素养的养成，这在很大程度上就是回到了孔子的教育思想，并将导致教育事业的严重倒退。也就是说，我们不仅未能很好地实现对于“专业化”的必要超越，而且，如果缺乏自觉性的话，反而会由初步的“专业化”重新回到“无专业”这一原始状态，即只是“高级状态”的一种庸俗化。恰恰相反，我们所提倡的应是“专业化”基础之上的“去专业化”。

也正因此，从文化的视角看，我们就应引出这样一个进一步的结论：就数学教学而言，我们不仅应当突出“入”这样一个关键词，即从一开始就特别重视帮助学生很好地了解和适应数学家的思维方式和工作方式，而且应当高度重视“出”这样一个关键词，即跳出数学并从更大的范围认识数学教育的价值，特别是帮助学生通過数学学会思维，努力提升他们的思维品质，包括由理性思维逐步走向理性精神。

当然，所说的“出”并不排斥对数学家思维方式和工作方式的“适应和欣赏”，只是我们所提倡的已不是单纯的“融入”或“追随”，而是“以我为主，为我所用”，也即我们应当通过数学学习努力促进自身的发展，很好地实现自我的不断完善。

简言之，我们应帮助学生在数学学习中实现更大的自觉性：不只是“爱上数学”，也不只是在数学学习中取得较好的成绩，而是通过数学学习不断地完善自我。

例如，从这一角度，我们可更好地理解努力帮助学生学会“长时间思考”的重要性，尽管这对于学生在各类考试中取得更好的成绩似乎并无明显的效果。具体地说，这正是人类思维的一个重要特点，即“快思”占据主导地位。但是，尽管“快思”对于人们的工作和生活具有十分重要的作用，但也有明显的局限性，特别是，常常会导致各种规律性的错误。也正因此，作为自觉的努力，我们就应十分重视如何能够逐步地学会“长时间思考”，从而切实提高自身的思维与认识能力，包括有效克服与纠正“快思”所可能导致的各种错误。郑毓信.“数学与思维”之深思[J].数学教育学报，2015（1）：15。

更一般地说，相信大家也可更好地理解笔者对于“数学深度教学”的提倡。这就是指，数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性思维策略与思维品质的提升。我们并应帮助学生由在教师（或书本）的指导下学习逐步转变为学会学习，包括善于通过同学间的合作与互动学习，从而真正成为学习的主人。参见：郑毓信.数学深度教学的理论与实践[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2020。

综上可见，相关分析对于我们做好数学教学有重要的启示意义，特别是，这可被看成我们真正做好数学教学的关键，即很好地弄清自己应在哪些方面作出切实的努力，又如何才能使学生有更大的收获，从而就可在教学中表现出更大的自觉性。

值得指出的是，这事实上也正是教师所应经常思考的两个问题，并直接关系到了教师工作的“初心”与“使命”：“‘你为什么要当教师？才当教师的时候，我可能只是想以此谋生。随着时间的推移，现在的我愿意这样回答：‘我当教师，是想让一些人有所改变。

“‘你准备当什么样的教师？这是为自己的教育人生确立方向和目标。我的回答是：准备成为当下学生不那么讨厌、若干年以后学生还乐于谈论的教师。……我能想到‘最浪漫的事，就是在教师生活中有一些超越和创造，一路上收藏点点滴滴的创造，退休以后坐在摇椅上跟自己的子孙们慢慢聊。千万不要在别人问起自己的教师生活时，什么也说不出来。”陈大伟.当教师，需要想好几个问题[J].教育研究与评论，2021（5）：125。进而，这也可被看成教育工作为什么应当高度重视“文化的视角”的主要原因：“从过程看，文化的实质就是找到美好的、值得追求的东西，然后用这样的东西去影响人，改变人，使人变得美好。”陈大伟.观课议课的“以人为本”[J].教育研究与评论（课堂观察），2021（6）：6。

最后，也正是从文化的视角分析，我们可清楚地认识创建好的“数学课堂文化”与“数学学习共同体”的重要性。因为，从文化的视角看，学习主要是一个文化传承的行为，而所谓的“潜移默化”则又具有特别重要的作用。也就是指，这在很大程度上是通过特定环境与相应群体中的学习生活逐步形成的。

具体地说，我们应努力创建这样一种“数学课堂文化”：“思维的课堂，安静的课堂，互动的课堂，理性的课堂，开放的课堂。”显然，即使大多数学生不具有“数学天分”，不是天才，只是凡人，也仍然可以由这样的“数学课堂文化”与相应的“数学学习共同体”获得很大的收获，即得到一些对于他们未来的工作和生活真正有用的东西。（郑毓信，南京大学哲学系，教授，博士生导师。享受国务院特殊津贴专家，江苏省文史研究馆馆员。从事学术研究与各类教学工作50多年，包括中学、大学、研究生教育与各类教师培训工作，多次赴英、美等国以及我国港台地区做长期学术访问或合作研究，赴意大利、荷兰、德国等国多所著名大学做专题学术讲演。出版专著30余部，在国内外学术刊物上发表论文近500篇，学术成果获省部级奖7次。在数学哲学、数学教育、科学哲学与科学教育领域有较大影响。）