初中生数学阅读能力的调查分析与教学建议

陈鹏飞 林运来

（1.漳州市第二中学，福建 漳州 363100；2.厦门大学附属实验中学，福建 厦门 363123）

一、问题提出

当今世界在不断发展，科技在飞跃式进步，社会越来越信息化、数学化，我们想看懂某些产品的说明书、读懂股市走势图等，都需要数学的阅读能力.［1］数学阅读是从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程，不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程，还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程，是区别于一般阅读的较为复杂的智力活动.［2］《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称《课标（2011 年版）》）中多次提及“阅读”二字.例如，在“实施建议”中提出：“对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能.”在“评价建议”中提出：“为考查学生从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题.”无独有偶，在受到各国重视的PISA 评估测试的三个领域中，“阅读素养”排在第一位.

苏霍姆林斯基认为学习上的五把刀具分别是“阅读”“书写”“观察”“思考”“表达”，并把“阅读”摆在首位.这是因为阅读是信息输入的首要步骤.而阅读理解是学生从书面语言中获取信息，进行加工编码，获得知识意义的活动过程.有人认为不会阅读的学生是潜在的差生.［3］本研究以九年级学生为研究对象，通过对学生的数学阅读能力进行测试，试图了解某一地域学习群体在数学阅读中存在的问题，为更好地培养学生的数学阅读能力提供相应的教学建议，以供同仁参考.

二、研究方法

（一）研究对象

研究选取的样本为福建省漳州市X 和Z 两所中学九年级两个普通班的学生，共80 人.

（二）研究材料

1.教育部教育考试院提出数学高考着重考查阅读理解、信息整理、语言表达、批判性思维四项关键能力.考查数学阅读能力的试题类型涉及各个方面，形式主要有图表类型、生活语言文字类型和复杂数学关系类型.［2］根据以上研究结果，本研究先进行测试题的设计与编制，最终确定选取六道问题进行测试，其中图表类型3 题（题1～3）、生活语言文字类型1 题（题4）、复杂数学关系型1 题（题5～6）.测试前对教师和学生进行访谈，并对测试问题进行了微调和修改，在确保测试的有效性后，对样本学生采用纸笔模式进行测试.

2.笔、草稿纸、试卷、答题卷、录音笔.

（三）研究过程

1.2021年11 月1 日对样本学生进行测试，测试时长约40 分钟.

2.对答题卷进行回收并利用“好分数”软件扫描，在电脑上完成初评，再手工复评.

3.统计测试成绩后再对10 名学生及两位数学任课教师进行访谈.

三、研究结果与分析

本次测试满分45 分（选择题、填空题每题5 分，解答题每题10 分），样本学生平均得分28.8 分，得分率64%，及格率50.3%，优秀率12.5%，及格率偏低，优秀率更是低于班级平时测试成绩.下面对答题情况进行分析.

［题1］某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（ ）

图1

（A）各月的平均最低气温都在0℃以上

（B）七月的平均温差比一月的平均温差大

（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同

（D）平均最高气温高于20℃的月份有5 个

本题选取考生熟知的实际生活问题，要求考生读懂统计图并回答问题，以考查考生对新知识的学习和理解能力，［4］重在考查学生在阅读理解的基础上运用新知识解决问题的能力，体现了“素质教育”的基本理念.这里，要求学生对提供的信息进行充分解读，通过阅读“举例说明”，理解课本中没有出现过的雷达图中各径向线段和同心圆的实际含义，并根据代数推理进行判断.

本题只有2 人答错，平均得分4.88 分，表明样本中约98%的学生能够读懂雷达图，并能解决简单的实际问题.

［题2］有一道题：已知点O为△ABC的外心，∠BOC=130°，求∠A.

小明的解答为：

画出△ABC及它的外接圆O，连接OB,OC，如图2 所示.

由∠OBC=2∠A=130°，得∠A=65°.

小颖说：“小明考虑不全面，∠A还有另一个不同的值.”

（1）下列判断正确的是（ ）

A.小颖说得对，且∠A的另一个值是50°

B.小颖说得不对，∠A就得65°

C.小明求的结果不对，∠A应得50°

D.两人都不对，应有3 个不同值

（2）请选择你所采用的解题思路和方法：（ ）

A.读几遍题目后，直接利用图2，凭直觉判断

图2

B.通过心算，确定选项

C.读题后，在草稿纸上画出图形，通过演算进行判断

D.其他

本题考查圆周角与圆心角的大小关系及分类讨论等数学思想，考查逻辑思维能力、运算求解能力，体现了数学严密的逻辑性这一重要特征.样本学生的答题情况如表1 所示.样本中55%的学生能够正确判断“利用图2 考虑问题”不全面，且能够正确求出∠A的另一个值.样本中约26%的学生认为此题只有图2 这种情形.从所选用的解题思路和方法中可以看到，约83%的学生通过重新画图并经过演算作出判断，但部分学生无法正确或者完整地画出图形，说明将熟悉的文字表达转化为图形的能力还有待提高.测试后通过访谈其中5 名答错的学生，发现学生在重新画图的过程中，受图2 的影响，也只是画出类似图2 的图形.通过与数学教师交流得知，学生在平时学习中画“三角形的外接圆”时，往往只习惯画锐角三角形的外接圆，可见，在解答此题时，部分学生由于受定式思维的影响而致错.

表1 样本学生例2 的答题情况统计表

［题3］如图3，Rt△ABC中，∠B=90°，动点P从A点出发，沿A→B→C以1cm/s的速度在△ABC的边上运动.设△APC的面积为S（单位：cm2），点P的运动时间为t（单位：s），已知变量S与t之间的关系如图4所示，则运动过程中，S的最大值为______.

图3

图4

本题以点的运动变化为问题背景，考查函数的图象与性质的应用，综合考查运用数形结合、分类讨论等数学思想解决问题的能力.以考查数学抽象为主，同时考查直观想象、数学运算等学科素养.答题的关键在于紧扣数与形之间的本质联系:一是“图形”引路，即以“形”（如点P的运动轨迹）直观地表达“数”（如点P的运动时间）；二是“转化”桥梁，即以“数”（如t=6 时S取最大值）精确地研究“形”（如点P的位置）.

本题平均得分3.1 分.数学抽象素养较弱的学生很难将点P的运动路程结合△APC面积的“S-t”关系图顺利地转化成数.还有部分学生在计算三角形的面积时漏乘二分之一.

［题4］有一道题：初三（1）班共有40 个同学，班主任计划用1 000 元的班费给每个同学购买一个文具盒或一本工具书.已知文具盒的价格是28 元/个，工具书的价格是20 元/本.要求剩下的钱不少于100 元，但不超过120 元.请你设计购买方案.

小亮的解答如下：

设购买文具盒x个，则购买工具书(40 -x)本，根据题意得

解得10 ＜x＜12.5.

因为x是文具盒的个数，所以只能取整数，故x=11 或x=12.

购买方案有两种：购买文具盒11 个，工具书29 本或购买文具盒12 个，工具书28 本.

小亮的答案错了吗？如果错了，请指出小亮出错的原因，并写出正确的答案.

本题以“改错”的形式考查一元一次不等式组的应用，通过具体情境，考查“用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题”的素养，使学生感受数学与实际生活的紧密联系，理解数学服务于生活，有助于培养学生的应用意识和建模思想.

本题平均得分为8.25 分，大部分学生能得满分，少部分学生失分的主要原因有两个：一是回答问题不规范，叙述不清楚；二是考虑问题不全面，在“不少于”“不超过”的“纠错”中只找出其中一个.

［题5］习近平总书记指出，“垃圾分类工作就是新时尚.”某小区为响应垃圾分类处理，改善生态环境，将生活垃圾分成三类：厨余垃圾、可回收垃圾和其他垃圾，分别记为a，b，c.并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱和“其他垃圾箱”，分别记为A，B，C.

（1）若小明将一袋分好类的生活垃圾随机投入一类垃圾箱，画树状图求垃圾投放正确的概率；

（2）为了了解居民生活垃圾分类投放的情况，现随机抽取了该小区某天三类垃圾箱中总共10 吨的生活垃圾，数据统计（单位：吨）如表2 所示：

表2

该小区所在的城市每天大约产生500 吨生活垃圾，根据以上信息，试估算该城市生活垃圾中的“厨余垃圾”每月（按30 天）有多少吨没有按要求投放.

本题以学生熟悉的“生活垃圾分类”为具体情境，考查统计的基本知识及简单随机事件概率的计算，考查考生的数据分析素养.试题设计围绕调查、随机、推断和量化四个统计思想展开，进行数据分析（描述性统计分析和推断性统计分析），侧重于利用样本的数据推测总体的情况，体现样本估计总体的统计基本思想，［5］有助于使学生明确学习概率的最终目的是解决实际问题.

本题平均得分为7.62 分.第（1）问主要考查数据处理素养，有5 人未能正确画树状图求得概率.第（2）问侧重于利用样本的数据推测总体的情况，解答时，首先需要考生读取数据，找准表中数据之间的关系；其次，在读取数据的基础上，结合数据的统计意义，通过分析“样本”数据中没有按要求投放的“厨余垃圾”的数量对“厨余垃圾”没有按要求投放的概率进行统计推断；最后，利用样本数据推测总体的情况.从学生答卷来看，数据分析素养薄弱导致出现下面的典型错误：求该小区某天“厨余垃圾”没有按要求投放的概率时，混淆成求“厨余垃圾”箱中垃圾投放错误的概率（图5）；求该小区某天“厨余垃圾”没有按要求投放的概率时，混淆成求三类垃圾没有按要求投放的概率（图6）.出现这些错误的原因在于没有审清题干信息，这也是平常解题中学生容易忽视的地方.还有部分运算素养差的学生出现计算错误.

图5

图6

［题6］某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000 元.每台机器在使用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修还需向维修人员支付工时费500 元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，超出部分每次维修需支付服务费5000 元，但无需支付工时费.某公司计划购买1 台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内的维修次数，整理得到表3：

表3

（1）以这100 台机器为样本，估计“1 台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率；

（2）试以这100 台机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1 台机器的同时应一次性额外购买10 次还是11 次维修服务.

本题主要考查考生的阅读理解能力、转化与化归能力及数学运算能力，具体考查了用频率估计概率的思想；计算一组数据的平均数，并根据数据信息进行规律性推断.求解本题，考生需跨过三个障碍：一是阅读理解题意，二是将实际问题抽象为数学问题并建立相应的数学模型求解，三是较强的运算能力和良好的心态.

本题第（1）问有65 人回答正确，平均得分为4.1分，学生出现的错误主要体现在两个方面：一是将“维修次数不大于10”误认为“维修次数是8 次或9 次”，二是计算错误.本题第（2）问只有5 人得满分，平均得分0.6 分.该问主要考查数据分析和数学运算等素养，多数学生出现的错误也与此有关.第一，无法依托合理有效的阅读理解综合的问题情境中的文字信息并转化为数学问题，导致列式错误（如图7）；第二，只有3人利用分类讨论思想先求出不同维修次数的花费明细，再计算100 台机器维修费用的平均数（如图8），其余考生均直接列式计算，不会合理选择计算方式和“回避”复杂计算（如图9）；第三，有10 人把“维修费用的平均数”与“维修次数的平均数”意义混淆，把求“维修费用的平均数”求成“维修次数的平均数”（如图10）.

图7

图8

图9

图10

四、研究结论与建议

通过以上结果分析，本研究得到的基本结论及相应的教学建议如下：

（一）初中生数学阅读的兴趣尚待提升

从小学开始，很多学生就“怕”数学应用题，通过对其中10 名学生进行访谈，他们表示在解答题5、题6这样的问题时，只要一看到题目长、文字多、关系复杂，就产生畏难情绪.笔者认为导致这一情况的原因有三：其一，数学应用问题牵涉的现实生活背景比较复杂，材料比较抽象；其二，学生数学阅读能力不足或欠缺；其三，学生的问题是表象，根源是教师平时没有重视学生阅读能力的培养.数学阅读能力的培养是一项长期的、系统的“工程”，应渗透在平常学习的点点滴滴之中，教师需要针对数学学科的特点，对学生进行有效指导.教学中要为学生充分提供阅读理解的机会.比如，注意引导学生养成阅读理解教材及相应的课外资料的习惯，充分利用教材上的阅读材料，自主学习新知；同时，也要指导学生搜集能有效激发阅读兴趣，且能提升阅读能力的素材，创设适切的阅读情境组织学生开展阅读活动，使学生逐步养成探索新知、整合学科知识的学习习惯.对于比较复杂的阅读材料，教师要舍得花时间让学生阅读和体会，同时要引导学生克服浮躁心态，抱着“读题多遍，其义自见”的信心，相信通过逐字逐句的阅读，是能够读懂、读透题目的，在循序渐进中领悟数学内在思维逻辑，提升学生的数学阅读能力，磨炼其良好的意志和品质.

（二）初中生数学语言的转换能力偏弱

数学语言主要包括文字语言、图形语言和符号语言等.这三种语言之间的转换往往是学生阅读的难点，特别是符号语言与文字语言，符号语言与图形语言的“互译”，是很多学生的“短板”.［6］教学中，教师要采取治本的策略，首先要求学生认识汉字和数学符号，针对涉及的各类数学术语和符号，要结合相应的数学理论进行本质化的理解；其次，引导学生在数学阅读中积极思考，对数学语言的内涵进行理解，在三种不同的语言之间不断进行转换和“互译”，通过相互补充和印证，弄清问题表达的意思，培养多种方式表征信息的能力；再次，将数学语言和材料内容有机结合起来，将阅读内容与已有的知识经验联系起来，将抽象的概念、原理与感性的形象的事物联系起来，对问题涉及的数量关系进行分析、梳理和抽象，不断完善和优化数学认知结构，提升综合能力.

（三）初中生数学阅读的技巧有待加强

掌握一定的阅读技巧有助于提升学生的数学阅读能力.教学中，要注意通过具体案例，介绍问题情境中关键信息的提取方法，比如手脑并用、做好标记.对阅读材料中的每一个字每一个公式要充分注意，并对重点的地方进行标注，以便引起重视.像阅读题6 第（2）问时，可以对“维修费用的平均数”用线或点标记，这样既可以清楚地理解问题中的重要信息，又可以培养符号意识.再如，分段理解、整体把握.阅读篇幅较长的材料时，可以采取分散难点的策略，通过分段阅读、分层分步的操作，内化局部信息，在充分理解每段材料的含义后，将阅读获取的信息梳理形成提纲或图表，使之以网络的形式有条理地呈现出来，便于整体加工和灵活应用.