通过一题多解方法复习同角三角函数基本关系

马来吉

摘要：同角三角函数基本关系是高中数学三角函数内容中非常重要的一节。学生能正确理解和掌握同角三角函数基本关系是后续学习的基础.因此学好同角三角函数基本关系才能和后面的内容融会贯通，顺利解决问题。本文通过对一道关于同角三角函数关系的题目试用多种方法展开求解，以期学生能完全掌握知识，能举一反三，合理选取能快速解决问题的技巧。

关键词：同角三角基本关系;一题多解

正文：数学学科是我国现行基础教育主要学科之一.数学学习对学生的思维能力和创造能力以及组织能力有着重要的影响.一题多解的目的在于激发学生兴趣、培养学生思维能力和应变能力.能促使学生养成对事物的探索精神.在高中数学学习中经常使用一题多解的方法加快学生掌握知识的速度.同角三角函数关系是新课标高中数学内容非常重要的一节，学生能正确理解和掌握同角三角函数基本关系是后续内容学习的基础.本文我们使用多种方法对下面这道题进行讲解与分析，希望学生能触类旁通，举一反三，顺利掌握同角三角函数关系相关知识，将其和后面内容融会贯通，快速解决考试中出现的问题.

例题：已知 求 的值.

該题是一道典型的已知代数式的值求另一个代数式的值的问题.题目主要考查同角三角函数基本关系.学生很容易想到利用同角三角函数关系的平方关系以及解方程思想求出 和 的值来解决该问题，我们尝试一下.

该方法虽然是学生最容易想到的方法，进行到这一步感觉能解决问题，但真实情况是大多学生很难正确求解.原因是我们还需要根据其它条件来判断 和 的取值，在这个解题过程中显然是没有的，需要另找条件或者方法。

基于三角函数线相关知识，有向线段 .因此可利用有向线段来判断 所在的象限从而来判断 和 的正负，我们以此可以完善方法一。

我们知道，用三角函数线表示三角函数一定是带方向的，正是因为有了方向，三角函数线才有了灵魂.利用三角函数线不仅可以判断三角函数在各个象限的符号，而且还可以比较大小.比如利用三角函数线可比较 时， 的大小（有兴致的同学可以尝试多种方法来求解）。

在三角函数求解中，将和的形式转化为乘积的形式常用到的方法是平方法，而不同名称的两个三角函数乘积正好是正弦形式的二倍角公式.而 和 又是同角三角函数，因此我们可以利用以下方法解决该问题。

通过平方法快速求解了 的值，再利用同角三角函数关系 可完美解决问题，而且计算量也不大，将 看成一个整体，利用整体代换法是解决很多数学问题快速有效的好方法。

我们设想一下，如果知道 的值，和已知条件 一起可构造关于 和 的二元一次方程组，而方程组是我们初中就已经掌握了的.从而能够很好的解决该问题.学会构造法，在求解方程过程中能起到事半功倍的效果.具体我们来看下面的方法。

该方法难点是通过 的值来求 的值，以及在纵观以上几种方法，每种方法都有各自的特点，不存在哪种方法优，哪种方法劣.对于学生来说最好的方法就是能快速掌握且能正确找到答案的方法.本文我们罗列这么多方法主要是从复习的角度来发散学生的思维，使得学生能快速找到适合自己的解法，顺利掌握知识。