私募基金规模、申购赎回机制与动态道德风险

胡 蓉, 郑 军

(1.广东金融学院 金融数学与统计学院,广东 广州 510520; 2.广东财经大学 金融学院,广东 广州 510320)

0 引言

伴随金融市场的发展，我国基金业获得了空前的扩张机遇。相对于公募基金中管理者的纯代理人身份，私募基金中管理者必须投入部分自有资金以分担基金管理过程中可能存在的风险。然而，外部投资人对私募基金管理者努力程度的不可观察性使得私募基金的道德风险依然严重。如何设计私募基金合约以激励管理者努力管理基金，使投资人获得高收益的同时承担较低的风险，成为学术界和监管部门关注的焦点。

肖欣荣和田存志[1,2]的研究表明私募基金存在最优管理规模，且业绩表现费有助于降低私募基金管理者的道德风险。此外，Kouwenberg[3]和Lan[4]等的研究认为，适当的业绩表现费有利于激励基金管理者努力工作以提高基金业绩。但上述文献并未明确涉及申赎机制对管理者的激励作用。作为保护投资人利益的一种举措，申赎机制有利于缓解私募基金的道德风险。我国基金业起步较晚，针对我国基金市场的研究发现，开放式基金呈现“赎回异象”，即基金净值增长率越高，其面临的净资金流出压力越大，业绩较差的基金其资金流出压力却相对较低[5～7]。因此申赎机制对基金管理者存在不同的激励效应。现有文献大多仅考察基金合约条款中的某一方面对其业绩的影响，较少关注合约中各条款及其相互影响在缓解道德风险中的综合作用。牛华伟[8]在一个连续时间委托代理框架下研究了私募基金最优激励合约设计问题，但该模型中未考虑申赎机制。本文将规模相依的基金业绩波动率引入动态代理模型[9]，并用其考察了私募基金规模与申赎机制对管理者道德风险的动态作用机理。

1 经济建模

1.1 技术、偏好与信息

1.2 激励相容基金合约

基于累计基金业绩过程{Xt}提供的信息，外部投资人支付(1-α)I购买私募基金合约(α,τη,τκ,{Ct}t≤τκ)，该合约确定了投资人再申购时机τη和赎回时机τκ，以及初始基金规模中管理者投入的最低比例α及其获得的累计业绩抽成{Ct}t≤τκ。因此，投资人的最大预期收益为

(1)

管理者努力工作可获得的预期回报为

(2)

且努力工作是激励相容的

(3)

2 私募基金最优激励相容合约

在式(1)～(3)给出的动态道德风险模型中，将基金管理者的后续值Wt视为动态优化系统的唯一状态变量，以便将最优基金合约递归地表示出来。为此，首先以再申购时刻为界将基金合约划分为再申购后与再申购前两部分，采用倒向递推法分别考察相应的最优激励相容合约特征，然后根据实物期权思想阐述外部投资人的私募基金投资策略。

2.1 再申购后的最优激励相容合约

(4)

其中管理者在τη时刻的后续值Wτη定义为

(5)

采用Sannikov[11]发展的鞅方法，可将此激励相容条件递归地表示出来。

命题1再申购后的时间区间[τη,τκ]上，基金管理者的后续值Wt从申购阈值Wτη开始按如下方式演变

(6)

其中ψt测度了管理者后续值对基金业绩的敏感性，由基金历史业绩(Xs)0≤s≤t确定。

命题2基金管理者努力工作是激励相容的充分必要条件为ψt≥ϑ,t∈[τη,τκ]。

该命题表明，当合约(τκ,{Ct}τη≤t≤τκ)给出的管理者后续值对基金业绩的敏感性ψt不低于管理者努力的边际成本ϑ时，管理者努力工作是其最优选择；反之，当ψt<ϑ时，管理者选择偷懒。且ψ越大，投资人为激励管理者努力工作需付出的成本越高。因此，为最大化投资人的预期收益，在最优基金合约中应将ψt设置为可促使管理者努力工作的最低水平，即ψt=ϑ。

当管理者后续值触及赎回阈值Wτκ时，投资人赎回基金，基金合约终止；又根据(6)式可知，若不考虑业绩抽成，后续值Wt几乎确定是时间t的连续函数。因此存在某个阈值WC(WC>Wτκ)，当Wt触及WC时，管理者获取业绩抽成dCt，使其后续值回到非抽成区域[Wτκ,WC)，即WC为反射壁(称之为抽成阈值)。当Wt∈[Wτκ,WC)时，由(4)式和(6)式可得如下最优性方程

(7)

由伊藤引理和Bellman最优性原理可得

(8)

(9)

方程(9)表明，单位时间内投资人从私募基金合约中获得的最大预期收益等于剔除了合约承诺管理者的未来预期回报、补偿成本以及激励成本后的预期基金业绩。其中，激励成本随基金初始规模I或再申购比例η的增加而增加。

(10)

(11)

2.2 再申购前的最优激励相容合约

投资人执行再申购前，基金规模恒为I。由命题3可知，再申购仅发生在Wτη

(12)

投资人的值函数定义为在(12)式约束下满足下式的F(Wt)

(13)

类似(9)式，可得时间段[0,τκ∧τη]上的值函数F(W)满足如下常微分方程：

(14)

F(Wτκ)=(1-κ)L,F(Wτη)

(15)

命题4在最优基金合约中，再申购前管理者的后续值从初始值W0∈[Wτκ,Wτη]按方程(12)演变，且对于t∈[0,τκ∧τη]有Wt∈[Wτκ,Wτη]，而在此期间管理者的业绩抽成金额为dCt=0。如果Wt=Wτκ则投资人执行赎回决策，使得管理者从外部工作机会中获得回报Wτκ，而投资人获得终止价值(1-κ)L

类似性质1，可证明值函数F(W)为凹函数，从而F′(W)随W的增加而递减。将包络定理应用于(14)式可得

(16)

方程(16)的经济含义类似于(11)。

此外，如果不存在道德风险，将再申购金额ηI在初始时刻就用于购买基金，则可将投资人的预期收益增加ηI(1-r)/r>0。

图1 最优激励相容基金合约

2.3 投资人投资策略

上文推导私募基金最优激励相容合约过程中，隐含的假设前提是投资人投资基金可增加其期望收益。然而，除基金外，投资人还可能拥有其他投资选择。例如，投资人可将其购买私募基金合约花费的成本(1-α)I投资于收益率为r的无风险债券，获得无风险总收益[(1-α)I]/r。如前所述，私募基金多头方(即投资人)拥有合约规定的所有权利，购买基金合约花费的成本(1-α)I可视为期权的执行价格。因此，执行期权的回报为F0(W0)-(1-α)I。如果投资人放弃行权(即不购买私募基金)，并将其金融财富投资于无风险债券，可得回报[(1-α)I]/r-(1-α)I。如果F0(W0)>[(1-α)I]/r，投资人投资私募基金是其最优选择；如果F0(W0)<[(1-α)I]/r，投资人将不购买私募基金；如果F0(W0)=[(1-α)I]/r，则投资人将其财富投资于私募基金或无风险债券无差异，由此可确定最优的α。

因此，α越大，基金合约的价格(1-α)I越低，投资人要求的预期收益F(W0)越低，管理者更容易募集资金。这是因为，较大的α表明基金初始规模中管理者投入的比例较大，而管理者投入的金额类似于保证金，降低了道德风险。α越小则管理者投入的保证金越低，从而基金运行过程中道德风险越大，使得投资人要求较高的预期收益以补偿因道德风险导致的损失，此时私募基金募集资金更加困难。

3 比较静态分析

本节将通过比较静态分析考察外生参数对私募基金激励相容合约的影响。

3.1 再申购后的比较静态分析

(17)

方程(17)刻画了外生参数对投资人最大预期收益的影响。数值模拟结果如图2所示。

接下来考察主要参数对抽成阈值WC的影响。由方程(9)和(10)可得

(18)

图3 抽成阈值WC的比较静态分析

3.2 再申购前的比较静态分析

图4 申购阈值Wτη的比较静态分析

就参数r而言，如果投资人执行再申购决策，则在dt时间内，投资人要求的由再申购产生的预期回报增加值大于基金预期业绩增加值与激励成本增加值之差，投资人等待管理者的后续值积累到更高水平时执行再申购是其最优选择。此时，r增大将进一步提升投资人要求的由再申购产生的预期回报增加值，从而将进一步提升申购阈值Wτη(r)，直至基金规模的边际激励成本等于(1-r)。反之，申购阈值Wτη(r)随r增加而降低，直至基金规模的边际激励成本等于(1-r)。

参数ϑ和σ对申购阈值的影响几乎相同。以参数ϑ为例，由基金规模的边际激励成本表达式可知，管理者努力的边际成本增大则激励成本随之增加，投资人要求的由再申购产生的预期回报增加值大于基金预期业绩增加值与激励成本增加值之差，等待管理者后续值积累到更高水平时执行再申购是投资人的最优选择，因此申购阈值Wτη(ϑ)随ϑ增加而增加，直至基金规模的边际激励成本等于(1-r)为止。反之，申购阈值随ϑ增加而降低，直至基金规模的边际激励成本达到(1-r)。

4 结论

近年来，资产管理中的道德风险是学术界研究的热点。本文在动态合约框架中研究了私募基金规模与申购赎回机制对管理者道德风险的内在作用，分析了私募基金最优激励相容合约的特征，并采用比较静态分析方法获得了外生参数对最优合约规则的影响机理。结果表明，私募基金合约中，最优再申购时机由基金规模确定的最大预期收益函数内生决定，而赎回时机则由管理者期望回报与外生保留回报的相对大小给出。而基金业绩高水位值由投资人的最大预期收益和管理者的最大预期回报共同确定。此外，本文从理论上证明了当基金规模的边际激励成本等于其预期边际业绩时，私募基金管理规模达到最优。