干扰观测器补偿的四旋翼块对角控制器

何云风，赵国荣，王元鑫，韩 旭

(1. 海军航空大学岸防兵学院，山东 烟台 264001；2. 海军航空大学青岛校区，山东 青岛 266041；3. 91001部队，北京 100089)

1 引言

四旋翼无人机结构简单、灵活机动、成本低，实用性强，因此在军、民用领域都有着广泛的应用[1，2]。四旋翼完成任务需要良好的飞行性能，而飞行性能取决于飞行控制系统的设计。现代的四旋翼无人机在飞行过程中具有大机动、强非线性、强耦合的特点[3]，过去基于“小扰动线性化”、“忽略通道间耦合”假设的传统控制方法难以满足设计要求。

反馈线性化是现代控制理论中的一支，可以将非线性系统代数地变换为一个解耦的线性系统；可以较好地解决上述四旋翼的3个特点给飞控设计带来的困难。反馈线性化已经在旋翼[4，5]、固定翼[6]、直升机[7]、导弹[8]等飞行器的控制系统设计上取得良好的应用。而对于状态量较多、模型维数较高的对象，直接采用反馈线性化会使得最终控制量的表达式繁杂且依赖精确的模型。文献[9]针对具有特殊块对角结构的非线性系统，基于反馈线性化，提出了一种块对角理论，可以将高维的非线性系统变换分解为多个低阶线性子系统再进行设计。该理论已经在导弹[9]和飞机着陆系统[10]上得到了很好的验证。在深入剖析了四旋翼无人机的模型之后，本文发现四旋翼模型符合四层块对角结构。结合现代四旋翼飞行中的特点以及其模型的结构特征，本文将采用块对角理论对四旋翼的飞行控制器进行设计。

基于块对角理论所设计的控制器(以下简称块对角控制器，block diagonal controller， BDC)的整体性能很大程度上由每一层中线性设计部分所采用的方法所决定。在直接使用反馈线性化的控制器中，文献[11]采用了极点配置的线性设计方法；文献[12]采用了滑模控制理论进行设计；文献[13]采用了线性二次型调节器(linear quadratic regulator， LQR)；文献[14]采用了LQR中的输出跟踪器。在使用块对角理论的控制器中，文献[9，10]采用的是P增益法进行设计，文献[15]采用的是Lyapunov函数法。

文献[11-15]中所采用线性设计方法各有优劣，但均以某一种方法为主；而四旋翼模型符合4层块对角结构，在使用块对角理论进行控制器设计时，会存在4个线性设计部分，具有很大的设计空间。为了使得块对角控制器的综合性能较为优良，本文提出混合线性设计策略，即针对块对角模型中每一层的特点采用不同的线性设计方法，并将该策略应用到控制器设计中，对控制器进行优化。

在实际的飞行环境中，四旋翼本身的不确定性和外界的干扰是必然存在的，其存在会对控制系统产生不利影响。抗干扰性与动态性能、跟踪性能这些标称性能往往是相互冲突的，许多控制器为了兼顾抗干扰性会牺牲一部分标称性能，而文献[16，17]提出了一种新的解决途径——非线性干扰观测器(nonlinear disturbance observer， NDOB)。非线性干扰观测器与原来的控制器是分离设计的，可以在不考虑干扰的情况下先设计好原来的控制器，然后再搭载一个干扰观测器专门补偿干扰。只有在有干扰时，才激活干扰观测器进行对干扰进行估计从而对系统控制量进行补偿，解决了设计控制器时性能的冲突。为提高控制器在实际环境中的抗干扰性，本文将设计一个非线性观测器，并与块对角控制器相结合。

综上，本文针对四旋翼的特点以及其模型结构的特殊性，提出采用块对角理论进行控制器设计；且考虑到控制器设计中线性设计方法单一，将混合线性策略应用于控制器设计以提高其综合性能；然后设计一个干扰观测器用于干扰的估计和补偿，最终得到采用干扰观测器补偿的块对角控制器。

2 预备知识

2.1 块对角系统

形如

(1)

2.2 四旋翼模型的建立

四旋翼模型分为位置运动学、位置动力学、姿态运动学和姿态动力学模型，依次为

(2)

(3)

(4)

(5)

式(2)～式(5)中，[x，y，z]T表示四旋翼的位置，[vx，vy，vz]T表示速度，[φ，θ，ψ]T表示姿态角，m为质量，g为重力加速度，(kDx，kDy，kDz)为阻力系数，[ωx，ωy，ωz]T表示机体角速度(Jx，Jy，Jz)为绕机体轴的转动惯量，[τx，τy，τz]T分为滚转力矩、俯仰力矩、偏航力矩，[MGx，MGy，0]T为机体所受陀螺力矩。

2.3 四旋翼模型的处理

将四旋翼模型进行状态量重新组合，令

四旋翼模型则可写为

(6)

模型与式(1)定义相符，满足其特征，是一个四层的块对角系统。

3 块对角控制器的设计

3.1 控制器整体设计框架

四旋翼模型是四层的块对角系统，对照式(6)可以分为位置层、速度层、姿态角层和角速度层。块对角控制器的设计思路如图1所示，

图1 块对角控制器整体设计框架

图1中，下标带d的量均为对应状态量的期望值，(Ω1，Ω2，Ω3，Ω4)为控制转速。而每一层的设计思路如图2所示。

图2 每一层的设计思路

块对角控制器的整体性能很大程度上由线性设计方式决定。本文提出采用混合线性设计的块对角控制器：根据每层的需求与特点选择该层的线性设计方法，以获得整体性能的最优搭配。姿态控制器是比较独立完整的部分，要考虑其控制速度比位置控制器快，把快速性最好的Lyapunov函数法放在姿态角层，将PID控制放在角速度层，以强收敛性最大限度发挥Lyapunov函数的快速性。位置控制器主要考虑整体的鲁棒性，故将滑模控制放在位置层，然后将P增益法放在速度层确保位置控制器收敛即可。这样块对角控制器的动态性能、跟踪性能和鲁棒性都会比较优良。

3.2 姿态角层

根据图1中的设计思路以及混合线性设计的想法，块对角控制器中的姿态角层的具体设计步骤如下：

Step1：先来考虑姿态角层的3个子系统

(7)

将下一层状态机体角速度[ωx，ωy，ωz]T看作虚拟控制量，则3个子系统的相对阶均为1，运用MIMO(multiple input multiple output)系统的反馈线性化方法[12，14]，取期望机体角速度

(8)

当[ωx，ωy，ωz]T趋于[ωxd，ωyd，ωzd]T时，姿态角层变为Brunovsky标准形

(9)

Step2：基于线性解耦系统式(9)，采用Lyapunov函数法对姿态层进行线性设计，原则是[φ，θ，ψ]T趋于[φd，θd，ψd]T。将姿态角层设计为

(10)

其中系数(L7，L8，L9)均为正常实数。

Step3：将式(10)带回式(8)，即可得[ωxd，ωyd，ωzd]T的完整表达式。

3.3 角速度层

可仿照姿态角层设计过程的三个步骤。在step1中，考虑角速度层的3个子系统式(5)，控制量为U=[u1，u2，u3]T=[τx，τy，τy]T，3个子系统的相对阶均为1，取期望控制输入

(11)

在step2中采用PID控制理论进行线性设计，原则是使[ωx，ωy，ωz]T趋于[ωxd，ωyd，ωzd]T，保证式(9)成立，角速度层可设计为

(12)

其中e10=(ωxd-ωx)，e11=(ωyd-ωy)，e10=(ωzd-ωz)，系数(KPi，KIi，KDi)(i=10，11，12)均为正常实数。Step3则将式(12)带回式(11)，即可得[u1d，u2d，u3d]T的完整表达式。

3.4 位置层

同样地，考虑位置层的3个子系统式(2)，将下一层状态速度[vx，vy，vz]T看作虚拟控制量，取期望速度为

(13)

(14)

其中S1=(xd-x)，S2=(yd-y)，S3=(zd-z)，系数(ε1，ε2，ε3)、(λ1，λ2，λ3)均为正常实数。将式(14)带回式(13)，可得[vxd，vyd，vzd]T的完整表达式。

3.5 速度层

考虑速度层的3个子系统式(3)，结合图1，将总升力f和下一层状态姿态角[φ，θ，ψ]T看作虚拟控制量，但由于[φ，θ，ψ]T在三角函数中，速度层并不是一个仿射非线性系统，不能直接使用MIMO系统的反馈线性化，这里做一下处理，令

(15)

则式(3)变为

(16)

接着仿照姿态角层的step1，取[ux，uy，uz]T的期望值

(17)

然后采用P增益法对速度层进行线性设计，原则是使[vx，vy，vz]T趋于[vxd，vyd，vzd]T，速度层设计为

(18)

其中(a4，a5，a6)均为正常实数。将(18)带回(17)可以得到[uxd，uyd，uzd]T的完整表达式。

速度层的虚拟控制量原本应为f和[φ，θ，ψ]T，从外部输入一个期望的航向角ψd，再结合式(15)，可得[uxd，uyd，uzd]T到f和[φ，θ，ψ]T的转换式

(19)

将位置层的式(13)(14)、速度层的式(17)(18)(19)、姿态角层的式(8)(10)和姿态角层的式(11)(12)按图1的框架组织起来即是完整的采用混合线性设计的块对角控制器。

4 干扰观测器的设计

本文考虑的干扰为四旋翼最常遭遇的干扰力矩，将姿态动力学模型重写为

(20)

其中d=[d1，d2，d3]T为干扰力矩所对应的干扰角加速度，也涵盖了姿态动力学模型本身的模型不确定性。为方便设计和推导，将其式改写为一般仿射形

x=f(x)+g(x)u+d

(21)

由于姿态控制器与状态观测器是分离设计，在式(21)中暂取状态量x=[ωx，ωy，ωz]T， 控制输入为u=[τx，τy，τz]T，那么

接下来对d进行观测。根据式(21)，可得

d=x-f(x)-g(x)u

(22)

若假设d为一个慢变干扰，即

(23)

将干扰观测器初步设计为

(24)

(25)

η=-p(x)

(26)

其中p(x)满足

(27)

修正后的干扰观测器的动态方程为

=-l(x)+l(x)(-f(x)-g(x)u)

=-l(x)(η+p(x))-l(x)(f(x)+g(x)u)

=-l(x)η-l(x)(p(x)+f(x)+g(x)u)

(28)

其中η为辅助变量，f(x)、g(x)、u已知，l(x)、p(x)待设计且二者满足式(27)。修正后的非线性干扰观测器为

(29)

根据加入干扰之后的姿态动力学模型式(20)，块对角控制器的期望输入式(11)变为

(30)

(31)

结合式(29)与式(31)，干扰观测器补偿的块对角控制器如图3所示。

图3 干扰观测器补偿的块对角控制器

5 仿真

采用Matlab/Simulink仿真验证所设计的干扰观测器补偿的块对角控制器的有效性。选用DJI-F450四旋翼作为参考对象，其参数为：质量m=1.5 kg，旋翼中心到对称面的距离d=0.159 m，升力系数kT=1.105×10-5N/(rad/s)2，反扭力矩系数km=1.489×10-7N·m/(rad/s)2，Jx=Jy=0.017 07 kg·m2，Jz=0.031 75 kg·m2。

所设计控制器参数经调试后为：

位置层：(ε1，ε2，ε3)=(0.5，0.5，0.5)，(λ1，λ2，λ3)=(0.8，0.8，0.8)；速度层：(a4，a5，a6)=(2.5，2.5，2.5)；姿态角层：(L7，L8，L9)=(2.8，2.8，2.8)；角速度层：(KPi，KIi，KDi)=(15，0，0.8)(i=10，11，12)。

为验证所设计控制器的有效性，选择串级PID控制器和每一层全采用P增益法进行线性设计的块对角控制器与采用混合线性设计的块对角控制器进行比较。为便于图表的制作，在仿真结果中分别使用PID、P-BDC和M-BDC来表示三个控制器。

5.1 动态性能

控制器的动态性能往往是首要考虑的。测试动态性能一般采用典型的阶跃函数来作为参考输入。控制器的动态性能如图5所示(x、y、z通道的阶跃响应曲线大致相同，以x通道为例)。

图4 动态性能比较

其性能指标如表1所示。

表1 动态性能指标

根据图4与表1可知，三个控制器的上升时间tr基本相同；P-BDC与M-BDC的调节时间ts与超调量σ%也是几乎相同，且均比PID的要小。因此可以得出：P-BDC与M-BDC的动态性能基本相同且优于PID。

5.2 跟踪性能

四旋翼无人机最常见的飞行任务就是按照预定航迹飞行，故控制器的跟踪性能也是核心性能。测试控制器的跟踪性能可采用典型的双螺线航迹作为参考输入，

(32)

四旋翼起点坐标为(0，0，0)，期望航向角ψd=0。控制器的跟踪性能如图5所示。

图5 跟踪性能比较

根据图5中的(a)～(c)可以看出，PID与P-BDC跟踪期望轨迹时会存在时延td，PID时延td=1.37s，P-BDC时延td=1.43s，而M-BDC则具不存在时延。根据图5中的(a)(d)，PID与P-BDC具有±2.3m的跟踪误差，但其跟踪轨迹与参考轨迹相近， 误差应该是由时延引起；将期望轨迹按时延平移后得到图(e)，PID、P-BDC和M-BDC的稳态跟踪误差相差不大且均在±0.1m以内，精度较高。综上所述，三种控制器跟踪精度相近且均较高，但是PID与P-BDC存在时延，故M-BDC的跟踪性能更优。

5.3 抗干扰性

测试完块对角控制器核心的两个标称性能后，接来下测试搭载干扰观测器的块对角控制器的抗干扰性。为更好地测试控制器的抗干扰性，计划在悬停状态下加入干扰。干扰函数为

(33)

干扰观测器中取l(x)=diag(10，10，10)，p(x)=(10ωx，10ωy，10ωz)。控制器的抗干扰性比较如图6所示(以x通道为例)。

图6 抗干扰性比较

根据图6(a)可知，当未加入干扰观测器(NDOB)时，PID、P-BDC、M-BDC受干扰所产生的误差幅值分别为0.34m，0.24m，0.07m，可以看出三个控制器均受一定程度影响，其中M-BDC抗干扰性最好。给P-BDC和M-BDC加入干扰观测器，根据图6(b) (c)可知，干扰观测器本身的观测效果很好，4s之后基本可以完全观测干扰(4s左右到达悬停状态)；搭载干扰观测器的P-BDC和M-BDC受干扰后的误差幅值变为0.024m和0.007m，为原控制器的10%，控制器的抗干扰性得到显著提升，其中搭载干扰观测器的M-BDC抗干扰性更好。

5.4 鲁棒性

在实际环境中，要保证无人机的安全，还应该考虑控制器的鲁棒性。选择最为常见的重心偏移作为参数摄动的代表，控制器的鲁棒性如图7所示。

图7 鲁棒性比较

根据图7(a)(b)可知，当重心前后偏移时，控制器x通道的阶跃响应曲线变化为：P-BDC的上升时间tr上下浮动0.88s，并产生±0.75m的稳态误差；M-BDC的上升时间tr上下浮动0.43s，并产生±0.25m的稳态误差。二者都受影响，但后者鲁棒性更强。根据图7(c)(d)可以看出，在加入干扰观测器之后，P-BDC受摄动影响程度明显下降， M-BDC甚至几乎不受摄动影响。综上，M-BDC比P-BDC鲁棒性更好；干扰观测器对参数摄动也有很好的抵抗作用；加入了干扰观测器的M-BDC鲁棒性很好。

6 结论

本文主要工作：①针对四旋翼的特点，将模型处理为标准的块对角结构，并采用块对角理论对四旋翼飞行控制器进行了设计。②为提升控制器综合性能，将滑模控制、P增益法、Lyapunov函数法和PID控制分别应用到了位置层、速度层、姿态层和角速度层的线性设计部分，得到了采用混合线性设计的块对角控制器(M-BDC)。③考虑到四旋翼在实际环境中易受干扰影响，设计了干扰观测器进行干扰的估计和补偿。仿真表明，所设计的M-BDC本身具有很好的动态性能和跟踪性能以及较好的抗干扰性和鲁棒性；所设计干扰观测器对外部干扰和内部参数摄动有很好地抑制和抵消作用；搭载了干扰观测器的M-BDC兼具了很好的抗干扰性和鲁棒性。