工科线性代数课堂导入的探索

白晨明 郭秀英 张素娟 胡俊美

(石家庄铁道大学,石家庄 050043)

一、引言

线性代数是在理工类和经济管理类为主的高等院校中一门关键的公共必修数学基础课程，是学生学习后继课程的重要工具，同时在培养学生的抽象思维能力以及后续工程或管理计算能力等方面有显著的作用[1]。这门课程围绕如何解决高维线性方程组进行展开的相关内容的研究，其中主要教学内容是行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、空间解析几何等[2]。但是由于这门课程知识概念庞多、内容具有抽象性，证明逻辑性强、计算较为繁琐等特点[3]。造成大多数学生难以适应，普遍感到晦涩难懂，尤其是在遇到n阶行列式的定义、高维向量组线性相关性的概念、非齐次线性方程组的解的结构等问题时，学生均感到比微积分的学习要困难得多。此外，众多学校开设线性代数的学时相对偏少，为了完成教学内容，教师往往需要赶进度采用填鸭式教学，以致学生在课堂听课过程中收效甚微。

线性代数教学内容的高度抽象性，使学生对知识只能一知半解，尤其对重要的概念也未能完全理解。在此情况下，学生听课的积极性与兴趣会受到影响。学生的学习兴趣会减少，也间接影响他们对后继课程的学习。因此，作为教学过程的关键步骤之一——课堂导入。教师应该结合当下大学生心理特点创设合理且有效的情境，增加学生对新知识学习兴趣与学习热情，引发学生参与课堂学习的主动性[4]。课堂导入良好的手段不仅能提高学生的学习兴趣与听课质量，还能改善教学效率。然而实际教学过程中，不少教师的课堂导入过于直接简单、随意，无法发挥导入环节的实质性作用，未能达到预期的课堂效果，从而使学生感觉线性代数知识更加枯燥[5]。因此，一种良好课堂导入，帮助学生适应线性代数与几何课载体的课堂导入模式，使学生更能将枯燥乏味与抽象的线性代数知识具体化、形象化，最终达到对知识的真正理解与掌握。因此，本文以向量组线性相关性的为例，探讨以游戏为背景的课堂导入模式。

二、向量组线性相关性的课堂导入模式

向量组的线性相关性是线性代数课程中较为抽象的知识点之一，同时还是教学重点与难点内容。它有着承上启下的关键作用，向上紧密联系着矩阵的相关知识，向下又是研究向量空间、线性方程组解的结构、二次型和特征值与特征向量的基础。这部分知识在高维向量中讨论，因而抽象程度极高。此外，既有相对独立的理论研究价值，又有较为实际的应用价值。这部分基本概念与基本定理数量多，还与前面所学的矩阵知识相互交叉。因此，学生在学习过程中不易理解且极易疲惫，致使学生产生迷惑，失去学习兴趣与动力。

向量组的线性相关性的基本定义，可以表示为：设α1,α2,…，αm为n维向量组，若存在不都为零的实数λ1,λ2,…,λm，使得λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0，则称向量组α1,α2,…，αm线性相关；否则，称α1,α2,…，αm线性无关。

(一)传统导入模式

对于向量组的线性相关性的基本概念，在传统的课堂导入模式中，不少教师采用直接导入的方法，或者采用缺少背景的纯数学的案例进行导入。

通过学习MOOC视频中向量组线性相关性的有关内容，不难发现北京科技大学MOOC视频中，向量组的线性相关是在已有向量空间概念的基础之上，采用几何向量空间中的几何向量为基础进行课程导入；哈尔滨工业大学的MOOC视频中，首先给出线性组合的概念，直接给出了向量组线性相关的定义；天津大学的MOOC视频也是以简单的几何向量共线共面导入推广到n维向量组的线性相关性。下面给出这种导入模式。

图1 向量的分解

上述的导入方式，对于教师授课带来了很大的方便，可以在规定的时间内完成相应的教学内容。导入二是纯数学的形式，因而对于新从高中进入大学还未适应的学生来说，内容过于抽象与形式过于枯燥，使学生对向量相关性的理解变得模糊。对于借助几何向量这种导入一，可以体现出数形结合的思想，较为直观，借助几何图像的形式来解释线性代数中的概念和性质，从而化解线代数抽象、难学难教的状况。

这几种传统的课堂导入模式主要以教师的讲授为中心主体，不能突出学生的主体地位。开展研究式课堂导入教学要充分发挥教师的主导作用和学生的主体能动性，积极吸取当代学生的兴趣与关注点作为课堂导入的切入点。教师针对课堂导入的内容精心设计，引出主讲内容的关键问题，引导学生发现与思考，营造和谐、轻松的课堂问题，以促进师生交流，启发学生的学习兴趣和主动探索知识的意识。

(二)以游戏背景为载体的导入模式

以游戏背景为载体探究向量组的线性相关性的基本概念的课题导入。

现在大学生基本上都喜欢打游戏，尤其以男生居多的工科院校，因而将学生感兴趣的游戏引入线性代数教学中，可以减少师生间的距离感，增进同学间的友谊，改善枯燥数学课堂教学活跃度。因此，在课堂导入环节运用学生喜欢的游戏，推动教学方法的发展与创新，有效激增学生学习线性代数的兴趣与热情，为学生营建良好的学习氛围，提高课堂授课的质量和效率。

通过前期问卷调研，根据问卷情况将学生分组，每组可选择自己感兴趣的游戏的英雄人物为引例，课下搜集相关资料与数据；然后让其深入思考游戏背后深层的数学知识，尤其是线性代数的基本知识，可以多组间进行讨论；再进一步探究其中关于向量组的线性相关性的案例。

课堂中以大学生中较为流行的英雄联盟中英雄技能为例，将所有技能进行归类划分，引导学生采用数学建模的形式，将具体事物转化为抽象数学符号，给出关于英雄技能的向量表示。不妨设，向量模式表示：α=(a1,a2,a3,a4),其中a1表示英雄的生命值，a2表示攻击后英雄回血的时间，a3表示攻击中的伤害程度，a4表示技能使用后的冷却时间。因此，这些游戏不同英雄角色背后的技能值可以构成一组向量组。

把英雄A，B，C，D的战斗技能值都看成一个四维行向量，并记为αi(i=1,2,3,4)，由表 1 可知，α1=(100,10,50,10),α2=(50,20,100,20),α3=(70,20,60,20),α4=(220,35,285,65)。在结合前期的数形结合等思想，分析最后一个向量是否可以由其他三个线性表示。若能表示，则英雄A，B，C三者的综合技能值与英雄D的技能值相当；否则，无法匹配。

表1 英雄战斗技能信息

因此，可以类似的表示为这几个英雄的整体技能构成的向量组是线性相关的。在素质教育全面发展的时代背景下，通过学生喜欢的方式可以提高学生思考问题与数学建模的能力；锻炼学生从具体事物转化为抽象模型的思想；培养学生透过现象看本质的能力，拨开游戏的外表，使学生在玩游戏的过程中体悟其背后的数学原理，以及数学在游戏中的应用，从而拓展学生的解决问题的思维，激发学生的学习积极性。

这种课堂导入的模式优点，通过学生喜欢的游戏为引例背景，将抽象的线性代数中向量组线性相关性的课堂导入变得具体化、形象化，可以引起学生的共鸣，具有趣味性；在研究式课堂导入教学过程中，通过分组形式与课下讨论，使学生能够主动积极地参与课堂活动之中，同时可以能够调动学生的学习积极性，使学生深入地去思索具体事物背后的原理，为后期工程中的实用性提供帮助。此外，该导入模式与传统导入模式在课堂讲授过程中所占时间相当，不会因此延误教学内容。但是也存在些许的缺点，可能使学生过于活跃，导致课堂听课效率下降，因此也需要教师掌控整个课堂的授课节奏和课堂导入的时间与把握程度。

三、结语

对于工科线性代数与几何教学来说，教师要把握课堂导入的新颖性，符合当代大学生的兴趣特点，以游戏背景等为载体进行概念的内涵与外延讲解，突出线性代数的实用性；以学生的兴趣点为导向，设计教学课堂导入，将抽象化知识转化为日常中形象的事物，才能更好地提高学生的对线性代数的理解与掌握。此外，还要注意知识点所包含的确定性因素，加强思维方式训练，才能更完善地掌握与理解工科线性代数的全部内容。