浅谈问题情境教学模式在高等数学中的应用——以第一类曲线积分为例

◇中原工学院 陈仁霞 李士生

高等数学作为大学中一门重要的基础课程，具有内容难度大、周期长等特点,学生学习面临不少问题。本文建议采用“创设情境提出问题讲授新知解决问题”的教学过程展开高等数学教学，融入数学建模思想和课程思政元素，增加课堂的趣味性，从而培养学生的逻辑推理和抽象思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。本文以第一类曲线积分为例，深入讨论问题情境教学模式在工科各专业高等数学教学策略中的应用。

高等数学（高数）作为高校理工科专业学生的一门重要基础课程，具有知识点多、学习周期长、课时紧张、理解困难等特点[1]。许多大学生觉得高数比较抽象，学习意义不大，在学习中容易产生单调枯燥的感觉，从而削弱乃至丧失学习兴趣，导致高数挂科率较高。在传统的高数教学中，往往偏向于学生对特定方法和知识点的传授，关注解题技巧较少，甚少要求学生发掘和解决生活中的具体问题，对学生创新意识和能力的培养不够。基于此，如何提高教学质量、激发学生学习高数的兴趣、培养学生的创新能力变得尤为重要。

1 教学现状分析以及相应措施

近几年，关于高数相关的课堂教学改革开展得如火如荼，与以往传统的教学方法相比，虽然课堂教学有了一定的改善和进步，但课堂氛围还不够浓厚，精彩度不高，导致学生学习的兴趣和积极性偏低。同时，大学一年级的学生所处的年龄阶段，形象思维强于抽象思维。为了解决这一矛盾，我们从学生的知识和能力背景出发，依照科学研究和知识认知的规律，构建以问题为中心，以学生为本的高数课堂教学实践，实现了将抽象的数学概念形象化，提升学生的自主学习能力和知识运用能力。

一堂高数课的引入是否恰当是一节课是不是“高效”的核心，有效地创设情境引入不仅能吸引学生的兴趣和积极性，而且能起到事半功倍的效果。课堂是教学的主阵地，为了改变以往高数课堂的填鸭式教学，从教学需要出发，创设与教学内容相关的场景和氛围，从而激发学生的共鸣，唤醒学生的思维认知，提高学生的学习内驱力，引导学生主动参与到课堂的各个环节，培养学生的数学学习兴趣。作者认为“问题情境教学法”可有效提高课堂效率，问题情境教学法一般认为是由美国教育学家布鲁纳提出的，他指出对学习者最有意义的对象一定是学习者经历了对学习资料的自身体验和发展过程挖掘出来的。为了吸引学生的思考和兴趣，课堂知识点的阐释需要有相关的情境展示，而创设情境不仅要联系生活实际，而且要符合学生的认知水平，让学生积极主动参与课堂并思索问题的解决方式。

据了解，大多高校高数教师对问题情境教学模式是有了解的，但具体应用到课堂教学的并不多，原因在于认为情境教学有些牵强，不能很好地应用于高数课堂。问题情境教学法需要教师做大量的课前准备，才能将数学知识的渊源背景和实际生活场景联系起来，这无疑要增加教师的工作量。为此，在课前准备中，教师自身要有渊博的知识储备，包括对知识渊源的把控，知识点在生活中有哪些应用，讲授中如何设疑方便学生自然融入角色等，这样方能把问题情境模式运用好，教学质量将有质的飞跃。我们建议按章节把查找相关知识实际背景的任务分配到高数课程组教师，教师经过整理后添加到课件中。

2 第一类曲线积分的教学过程

高数的课堂教学不仅要求教会学生相应的数学知识，而且要求学生能够用所学的数学知识分析和解决实际问题，从而达到教书育人的目标[1]。在高数课堂教学中，教师要突破教材的限制，由实际问题引出抽象的数学理论，让学生在充分了解数学知识的同时，注重理论结合实际，拓展延伸课堂教学内容。我们建议在高等数学教学中采用“创设情境—提出问题—讲授新知—解决问题”的教学模式。

多元函数积分学是理工科学生学习高数的重点和难点，共分为六类：二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分。由于积分类型众多，学生特别容易混淆。若能把积分定义和实际问题建立联系，让同学们体会到进一步学习和探究的必要性，可提高学生的学习兴趣。下面我们将按照学生的求知规律，基于客观实际，遵循“提出问题—分析问题—解决问题—推广应用”的思路，以“第一类曲线积分”为例，对问题情境教学模式展开介绍。

2.1 创设情境

首先，教师PPT展示各种建筑的承重梁设计、直流特高压输电线路等，引出曲线形构件质量的思考。通过这些生活问题引发思考，既具有时代气息，贴近生活，带给学生切身体验，又能激发学生的求知欲和学习兴趣。进而，着重介绍设计师设计项链的质量[2]：为了美观，设计师设计项链的各部分粗细程度往往不一样，即密度是连续但不均匀的，但是无论把项链放在任何位置，从几何上看，它都是一个曲线形物体，从而该问题可转化为求解密度不均匀曲线形物体的质量问题。学生们会疑惑：有的曲线形物体（比如项链）是有宽度的，为什么可以理解成曲线呢？讨论：项链的宽度远远小于长度，我们把宽度都体现在密度函数上，比如比较粗的部分，密度函数取值大一些，比较细的部分，密度函数取值小一些，所以可以理解为曲线形物体。通过课堂实践，使学生深入了解第一类曲线积分的实际背景，将实际问题抽象化和具体化，让学生体会到科学探讨的必要性，学习积极性进一步提高。

2.2 提出问题

在解决上述问题之前，教师以学生熟悉的定积分为切入点，利用经典的元素法，即“分割—近似—求和—取极限”，求解密度不均匀直细棒的质量：当我们把直细棒拉伸扭曲就得到密度不均匀的弯曲细棒，进一步探讨弯曲细棒的质量求解问题，即研究曲线形构件的质量问题。这里采用由已知探求未知的过程，使学生运用已有知识逐步迁移解决新的问题。

2.3 讲授新知

（1）定义：通过多媒体的动态演示，让学生自然猜想到可以利用经典的积分思想来求解弯曲细棒的质量，可得到一个和式的极限在解决其它问题时也会用到这种和式的极限，从而抛开问题的背景，抽象出一个数学概念，即第一类曲线积分积分的思想告诉学生可以将生活中的复杂问题简单化，把大目标分割成阶段性容易实现的小目标，久而久之就可以实现梦想。

（2）性质：首先让学生回顾定积分和重积分有哪些性质，在学生进行一番大脑思索后，进而和学生一同分析：第一类曲线积分和定积分、重积分从定义来看都可归结为“和式的极限”，是否具有相似的性质，最后用简单明了的语言和具体实例引导学生总结相应的性质。

（3）几何意义：数形结合贯穿于整个高数的知识体系，其核心是通过直观形象的图形展示抽象的数学语言，使空洞抽象的数学问题形象化、具体化、可视化，方便驾驭数学问题的实质[3]。从数形结合的视角结合定积分的几何意义，给出第一类曲线积分的几何意义，可描述如下：定积分的几何意义为曲线梯形的面积，当我们把曲边梯形卷起来（见图1）就得到一个柱面，原来的高就变成空间直角坐标系的曲面积分范围由二维坐标系中轴上的闭区间推广到三维坐标系中面上的一条曲线。进而展示，几何意义的实际应用（见图2）：上海复兴艺术中心的可移动的流苏幕帘的面积，即柱面的面积。

图1 第一类曲线积分的几何意义

图2 上海复兴艺术中心流苏幕帘

（4）计算公式：培养学生运用融会贯通、相互联系、知识迁移的方式学习高数课程。课堂讲授中，引导学生弄清后续概念和前续概念的区别与联系，辨别概念的内涵与外延，加深相关知识的理解和掌握。对于一些具有相似或联系的知识模块，着重引导学生区分它们之间的不同点和相同点，让学生能够全局把握高等数学的知识体系。

首先，教师板书写定积分的应用—平面曲线的弧长计算公式以及第一类曲线积分定义公式然后，提出问题：那么这两种公式是否存在联系呢？如何进行分析呢？其实只要认真观察两个式子，就会发现其中的玄机[5]。一是肯定和鼓励学生得到的结论，二是启发学生继续探索：弧长计算公式和第一类曲线积分都与曲线有关，前者计算曲线的长度，后者计算曲线的质量，从形式上观察，后者比前者多了一个被积函数，但是被积函数是定义在积分曲线上的，所以中的变量和应该满足积分曲线的方程，这样被积函数就可以转化为一元函数，这时可以大胆假设第一类曲线积分是否也可以转化为定积分来计算呢？引出第一类曲线积分计算方法的定理，利用元素法进行验证定理的正确性。

2.4 解决问题

将数学建模元素融入高数课堂，培养学生利用所学知识解决实际生活和生产中涌现的实际问题的能力。做足功课之后，理论指导实践，解决开篇问题，有始有终地展开教学—利用第一类曲线积分计算项链的质量。建立模型：如果项链缠绕成半径为10cm的圆，由项链的密度函数在曲线上的积分，即为项链的质量。

分析问题：已知线密度在曲线上的积分表示曲线形物体的质量。模型中密度函数是给定的，曲线方程怎么表示呢？引导学生将实际问题用数学语言来描述。可以把曲线（圆）的参数方程表示为，运用上面的计算公式可得项链的质量为：

2.5 归纳总结

归纳总结既是教学课堂的一个重要环节，又是学好高数的一个重要方法。在教学任务的最后阶段，教师可以勾画思维导图（见图3），引导学生梳理知识，巩固重难点，总结课堂中涉及的知识点、技巧、方法等，加强学生逻辑推理能力的培养。延伸第一类曲线积分在生活中的应用，大型建筑的承重梁设计，测电压输电线路，让学生们体会到数学来源于生活，服务于生活，使学生能够对第一类曲线积分有更加深入地直观认识和理解。同时融入思想政治元素，引导学生透过现象看本质，有利于激发学生深入思考问题，整合价值观念，凝聚共同力量。通过第一类曲线积分在鸟巢承重梁的设计这一伟大工程中的应用，切实帮助大学生树立中国特色社会主义道路自信、科学自信、文化自信。

图3 课堂小结思维导图

2.6 教学效果分析

通过近两年问题情境教学模式在本人授课班级的实施，同时在课堂中融入课程思政元素，结合课上课下的习题和作业反馈，综合过程考核和期末考试情况分析，所作的第一类曲线积分教学设计，不仅传授了课程知识，而且从多维度提高了教学质量，实现了教学改革的目标。首先，通过具体生活实例引入，让学生了解第一类曲线积分的研究背景，即创设合适的情境提出来源于实际生活的问题；其次，由定积分的实际应用出发进行剖析，与当前问题进行类比，让学生明确研究思路，即总结已有知识并进行拓展和创新，明确提出第一类曲线积分概念的必要性；此外，在了解了第一类曲线积分的性质和物理意义、几何意义的基础上，掌握了第一类曲线积分的计算公式，解决了开篇问题：项链质量的求解。

3 结束语

在高数课堂中，教师按照不同的知识模块和所授专业的学生创设不同的问题情境，不仅能够完备学生的知识结构，刺激学生的钻研欲望，深化学生的求知意识，推动学生的创新动机，而且能够有效地提升高数课堂的教学效果。又如在梯度概念的课堂教学设计中，通过引入黄河水和瀑布水流向的实例，学生可以明晰梯度概念的研究背景。高数教学模式的改进，一直是高校数学教师努力的方向之一，如何进行行之有效的课堂教学设计是关键。基于问题情境模式的课堂教学设计可以有效地促进师生互动，加大学生参与度，提升学生学习激情，进一步提高教师的教学质量。