加权退化椭圆方程非负解的Liouville型定理*

韦冬瑜

(广西师范大学 数学与统计学院， 广西 桂林 541006)

其中h(z)是非负C2函数，ΔGu=Δxu+|x|2αΔyu,α≥0.通过构造辅助函数,运用Green公式、散度定理和Young不等式等对辅助函数进行非线性能量估计,证明了当或或且h(z)满足一定条件时,方程只有零解u(z)≡0.

1 引言和主要结果

本文研究以下退化椭圆方程非负C2解的Liouville型定理：

ΔGu+h(z)up=0,z∈N=N×m，

(1)

其中h(z)是非负C2函数，ΔGu=Δxu+|x|2αΔyu是Grushin 算子(α≥0).Liouville型性质是研究非线性偏微分方程边值问题的一个有力工具,从Liouville型定理中可以获得关于解的定性性质的各种结果,如局部解的逐点估计、先验估计、奇异估计、衰减估计，以及非稳定问题解的爆破率等.相关信息可见文献[1]及其中的参考文献.Grushin算子由Grushin引入[2]，近年来关于含Grushin算子的Liouville型定理已有大量研究[3-7].

当α=0时Grushin算子即为N中的Laplacian算子,其中N=n+m,问题(1)即为以下的Laplacian方程：

Δu+h(x)up=0,x∈N.

(2)

ΔGu+h(z)up=0,z∈N.

(3)

本文的主要结果如下.

定理1设u(z)是方程(1)在N=1×m上的一个非负C2解,其中m>2,h(z)满足ΔGh(z)≥0,且存在正数c使得当充分大时有

则u(z)≡0.

则u(z)≡0.

2 基本恒等式

本节先给出Grushin算子的定义,其基本性质可见于文献[12]；然后通过构造辅助函数,并用求导公式、散度定理和Green公式对辅助函数进行计算,得到了一些初步结果.在下文中下标表示求偏导数.

对任意的z∈N×m,定义其范数为

记

Grushin 梯度为∇G=(X1,X2,…,XN),Grushin 算子定义为

定义ΔG的自然伸缩族为

τδ(z)=(δx,δ1+αy),δ>0,z=(x,y)∈N×m，

则有dτδ(z)=δQdxdy=δQdz,其中Q=n+(α+1)m是关于伸缩τδ的齐次维数.

(4)

则易知方程(1)等价于方程(4)，即要证明定理1,只需证明方程(4)的满足定理1中条件的非负C2解只有w(z)≡0.

则有

(5)

命题1设w是问题(10)的一个非负C2解,r∈,则

divy[wΛ∇x(|x|2α)∇xw∇yw]-divx[wΛ∇x(|x|2α)|∇yw|2]，

(6)

其中

(7)

证明关于式(5)右边的各项，有

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

再将式(8)～(13)代入式(5)，得

(14)

在式(14)的两边同乘以wΛ,再将式(4)代入，得

wΛdivy[∇x(|x|2α)∇xw∇yw]-wΛdivx[∇x(|x|2α)|∇yw|2]+

α(3α-1)wΛ|x|2α-2|∇yw|2+wΛdivy[∇x(|x|2α)∇xw∇yw]-

wΛdivx[∇x(|x|2α)|∇yw|2].

(15)

再用求导公式计算式(15)的等号右边各项，得

(16)

同理也可得到

(17)

(18)

wΛdivy[∇x(|x|2α)∇xw∇yw]=divy[wΛ∇x(|x|2α)∇xw∇yw]-

ΛwΛ-1∇x(|x|2α)∇xw|∇yw|2，

(19)

-wΛdivx[∇x(|x|2α)|∇yw|2]=-divx[wΛ∇x(|x|2α)|∇yw|2]+

ΛwΛ-1∇x(|x|2α)∇xw|∇yw|2.

(20)

最后将式(16)～(20)代入式(15),整理即得式(6).

命题2 设w是方程(4)的一个非负C2解,Ω是N=1×m中的一个有界开集(m>2),则对，有

(21)

其中J(z)和Λ由式(7)定义.

证明在式(6)的两边同乘以η，然后在Ω上积分，得

(22)

再由 Green第二公式得

(23)

接着由散度定理有

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

最后将式(23)～(28)代入式(22)即得式(21).

引理1设w是方程(4)的一个非负C2解,Ω是N=1×m中的一个有界开集(m>2),则对，有

(29)

(30)

再对式(30)左边的项运用Green第一公式，得

(31)

最后将式(31)代入(30),整理即得式(29).

3 主要结果的证明

记Ω=Ω2R=(-2R,2R)×B(0,2R1+α)⊆1×m,其中(-2R,2R)⊂,B(0,2R1+α)是m中球心在原点、半径为2R1+α的开球.考虑函数

令

ξ(x,y)=ξR(x,y)=ξ1,R(x)ξ2,R(y), (x,y)∈N=×m.

直接计算得

其中d1,d2,d3,d4均为正数.于是存在正数d5,d6,d7，使得对任意z=(x,y)∈Ω2RΩR都有

(32)

定理2设w是问题(4)的一个非负C2解,Ω2R=Ω是N=1×m中的一个有界开集(m>2),令

(33)

若p,r满足

1

(34)

B

(35)

其中

(36)

则存在正数c3,c4,c5,c6,使得对足够大的正数β有

(37)

其中J(z)和Λ由式(7)定义.

证明由Green公式得

(38)

同理可得

(39)

再将式(29)、(38)和(39)代入式(21)，则存在正数c7,c8,c9,使得

(40)

接着估计式(40)右边的各项.令η=ξβ,由式(33),存在正数c10使得

(41)

令η=ξβ，由Young不等式，对充分小的正数ε，存在正数C1使得

(42)

同理,对充分小的正数ε，存在正数C2，C3，C4使得

(43)

(44)

(45)

将η=ξβ代入式(40)的左边,再将式(41)～(45)代入式(40)的右边,且令r满足式(35),同时令ε充分小，则存在正数c11,c12使得

(46)

当β足够大且p>1时,再对式(46)不等号右边的项运用Young不等式，则对充分小的ε，存在正数C5使得

(47)

同理，对充分小的ε，存在正数C6使得

(48)

其中

易知当p>1时有q1>1且q2>1.

令ε充分小,将式(47)、(48)代入式(46)，可知存在正数c13使得

(49)

最后将式(31)代入(49)，再结合(36),即得(37).

(50)

(51)

结合式(50)和(51)，得