巧用凹凸性 妙解数学题

江苏 戚有建

函数的凹凸性是高等数学中的一个重要的数学概念，虽然在高中数学教材中没有明确出现凹凸性这个概念，但是在高考题中却经常可以看到凹凸性的踪影，实际上凹凸性是高等数学和初等数学的一个衔接点，在研究函数的凹凸性时，可以用导数作为工具，这样就将凹凸性与高中数学中的导数知识联系起来．凹凸性在研究函数最值、证明不等式等方面有着广泛的应用，近年来，以凹凸性为背景的试题已多次出现在高考中.笔者认为,在进行函数性质的教学时，教师可以适当补充一下函数凹凸性的相关内容,这样能够帮助学生全面深刻地理解函数的概念和性质.本文以几道高考题为例，剖析其中的凹凸性踪影,以期抛砖引玉.

1.凹凸性的定义

设函数f(x)是在区间I内的函数，若对任意x1，x2∈I(x1≠x2),

2.凹凸性的几何特征

(1)形状特征

凹函数(或下凸函数)的形状特征：曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方；

凸函数(或上凸函数)的形状特征：曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的上方.

(凹函数)

(凸函数)

(2)切线斜率特征

凹函数(或下凸函数)：切线的斜率随x增大而增大;

凸函数(或上凸函数)：切线的斜率随x增大而减小.

(凹函数)

(凸函数)

3.凹凸性的推广：琴生不等式

4.凹凸性的判断

设函数f(x)在区间I上二阶可导，

(1)若对任意x∈I,都有f″(x)>0，则f(x)在区间I上为凹函数(或下凸函数).

(2)若对任意x∈I,都有f″(x)<0，则f(x)在区间I上为凸函数(或上凸函数).

5.凹凸性的应用

由于凹凸性与导数密切联系，而导数是高考考查的重点、热点和难点，这就为高考命题提供更多的素材和视角．借助凹凸性，可以解决很多最值问题和不等式问题.

【例1】已知函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0时，f(x)≤ax+1恒成立，求a的取值范围.

解析：由题意得∀x∈[0,+∞)，不等式(1-x2)ex≤ax+1恒成立.

方法1：研究差函数g(x)=(1-x2)ex-ax-1的最值

令g(x)=(1-x2)ex-ax-1，x∈[0,+∞)，则g′(x)=(1-2x-x2)ex-a，故g″(x)=-(x2+4x+1)ex<0，

所以g′(x)在[0,+∞)上单调递减，而g′(0)=1-a，所以可得：

①当a≥1时，g′(x)≤g′(0)=1-a≤0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(0)=0，符合要求；

②当0≤a<1时，g′(0)=1-a>0，g′(1)=-2e-a<0，又g′(x)在[0,+∞)上单调递减，

所以由零点存在性定理得∃x0∈(0,1)，使得g′(x0)=0，当x∈(0,x0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,x0)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，不符合要求；

综上，a的取值范围是[1,+∞).

点评：方法1是处理含参不等式恒成立问题常用的方法，也就是将不等式恒成立问题转化为求差函数最值问题，然后研究不等式“g(x)max≤0”，此种解法通俗易懂，学生容易想到.但由于本小题中引入了参数a，故需要对参数a分情况讨论处理，这对学生的思维能力提出了较高要求，另外其中0≤a<1的情形中还会遇到“g′(x)=(1-2x-x2)·ex-a，x∈[0,+∞)的零点不方便求出”的困难，这里需要“设而不求”来处理，这对学生来说有一定难度.

方法2：借助凹凸性，研究不等式

因为当x≥0时,f″(x)=-(1+4x+x2)ex<0，所以f(x)在[0,+∞)上是上凸函数，

函数y=f(x),y=ax+1都过(0,1)，要使得当x≥0时都有f(x)≤ax+1，则需直线y=ax+1的斜率大于等于f(x)在(0,1)处的斜率，即a≥f′(0)=1.

点评：方法2是借助函数的凹凸性研究参数的取值范围.在高考中，可以借助一阶导数研究函数的单调性，画出函数的大致图象，再借助二阶导数来研究函数的凹凸性，这样就给我们处理切线的斜率问题、不等式恒成立问题提供了新视角、新方法.

(1)求a,b；(2)证明：f(x)>1.

解析：(1)a=1,b=2(过程略)；

方法1：借助重要不等式证明函数不等式

先证ex≥ex，x∈R设d(x)=ex-ex，则d′(x)=ex-e，令d′(x)=0，则x=1，

当x∈(-∞,1)时d′(x)<0，,故d(x)在(-∞,1)上单调递减；

当x∈(1,+∞)时，d′(x)>0,故d(x)在(1,+∞)上单调递增，

所以d(x)min=d(1)=0，故d(x)≥0，即ex≥ex,x∈R(当且仅当x=1时取等号).

方法2：构建两个函数，借助凹凸性处理

故g(x)在(0,1)上单调递增；在(1,+∞)上单调递减；

点评：方法2构建了两个函数g(x),h(x)，加强为证明g(x)min>h(x)max，这里需要特别指出的是，g(x)min>h(x)max实际上是g(x)>h(x)的充分条件，而非充要条件.因为函数y=g(x),y=h(x)的凹凸性不同，其中y=g(x)是下凸函数，y=h(x)是上凸函数，所以也称为凹凸反转法，凹凸反转的关键是如何分离函数，分离的要求是什么呢？通常是指、对分离，即将指数函数与多项式函数的组合放在一边，将对数函数与多项式函数的组合放在一边.

6.反思感悟

首先，高考是选拔性考试，命题专家喜欢在初等数学和高等数学的交汇点处命题，这样设计的试题,立意高远、角度新颖，既能考查学生当前的数学素养，又能考查学生将来的学习潜能，既能实现高考的选拔功能，又能对中学教学起到良好的导向作用，而凹凸性就是这样的一个典型素材.