一道三角函数最值问题解法的探究与拓展

云南 马孟华

三角函数最值问题一直是高考的重点和难点，而此类题型往往涉及三角恒等变换、函数、导数、不等式等综合问题而难于求解.本文从探讨一道三角函数最值问题的多种解法出发，探索总结三角函数最值问题的一般求解思路和方法，并在高观点指导下对问题的解法进行了再拓展.

三角函数最值问题往往以基础题和中档题的形式出现，方法简单、明确.而由三角函数构成的复杂形式的三角函数的性质研究就变得复杂和艰难了.

一般地，对于三角函数的最值问题，有以下几种处理方法：

(1)转化为复合函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k或f(x)=Acos(ωx+φ)+k求解；

(2)转化为二次函数(适用于具有二次关系的三角函数)求解；

(3)不等式放缩法求解；

(4)数形结合法求解；

(5)利用导数求解.

以上的求解方法中,(1)(2)两类情况是较为常见的解法，且是高考的常考点和重点.但如果三角函数(或经转化后的函数)不属于(1)(2)两种类型，则问题较为复杂.此时充分利用三角恒等变换对函数整体进行化简、变形，再结合(3)(4)(5)的思想方法，问题就会迎刃而解！下面我们结合一道试题分析研究，给出解决此类问题的一般方法并进行拓展和补充.

【例1】已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是________.

【分析】首先考虑二倍角公式得f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx)，然而这并不能转化为“复合型三角函数”或“具有二次型结构”的函数，故一般方法失效，考虑利用导数求解最值.

方向一：导数求解

该法看似直观简便，但操作过程较难，可以对解法进行简单优化，

此处直接求解出最值的理论依据是“极值的第二充分条件”：

设函数在某点邻域内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f′(x0)=0,f″(x0)≠0，则

(1)f″(x0)<0,f(x)在x=x0处取得极大值；

(2)f″(x0)>0，f(x)在x=x0处取得极小值；

方向二：三角恒等变换+换元法

在方向一的基础上，对整个式子两边平方(这也是三角函数中常用的解题技巧).

f(x)=2sinx+sin2x=2sinx(1+cosx),

两边平方得f2(x)=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cos2x)(1+cosx)2,

故f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3,

令t=cosx∈[-1,1]，则g(t)=4(1-t)(1+t)3,

故g′(t)=8(1+t)2(1-2t),

【评析】这里“两边平方”的根源在于可以将sin2x通过平方关系转化为1-cos2x，这样整个函数就成为了以cosx为变量的四次函数，对于直接对原函数求导的方法来说，这种方式降低了“导数求最值”的难度.

方向三：换元法+数形结合法

由于f(x)=2sinx(1+cosx)，令a=sinx,b=1+cosx，则有a2+(b-1)2=1，所求f(x)可表示为2ab，问题转化为已知实数a,b满足a2+(b-1)2=1，求2ab的最小值.

如图所示，设点A(a,b)，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点A作y轴的垂线，垂足为点E，则2|ab|=2S=4S△AEO=2S△AOB，而S△AOB最大时，即有S△AOB为等边三角形时，S△AOB最大，

【评析】此法技巧性极高，利用换元法将问题转化为二元最值问题后，结果是“乘积结构型”,就使得问题的处理变得困难，构造过程也极为巧妙，事实上,此法是很多学生、教师无法想到的，但可以借此进行讨论研究.即如果结果是“线性结构型”的表达式，如：求2a+b的最值，那么此题就回归到“通性通法”上了，此时原函数就应为f(x)=2sinx+1+cosx，问题就回到处理方法(1)上了，故此题的难点就在于结果成为了“乘积结构型”而大大地提升了解题的难度.当然，从数形结合的角度，此题还可以从解析几何中的“相切问题”入手解决.

方向四：函数思想+数形结合思想

【评析】在经历换元之后，问题转化为了数形结合下的几何问题，即曲线相切问题，再利用代数思想解决相切问题，这也是我们经常遇到的解决最值问题的一种思想方法.尽管此题是“曲线与曲线相切”，而非我们熟知的“直线与曲线相切”类型，但处理的思想方法却是一致的，这也在一定程度上丰富了“解析几何中相切问题”的类型.

以上四种解法都难度较大，一般情况下，学生无法利用“通性通法”求解，那么从更高观点下来看这个问题，能够简化问题的处理吗？答案是肯定的，下面我们从更高级的不等式及偏导数的观点下解决此问题，以达到拓展知识面、丰富知识体系的目的.

方向五：三角恒等变换+不等式放缩

由方向二可知，f2(x)=4(1-cosx)(1+cosx)3

=4(1-cosx)(1+cosx)(1+cosx)(1+cosx)

【评析】这里采用了四维形式的基本不等式来求解最值，超过了教学和《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的要求，但对于解决高考中的难题以及数学竞赛培优过程中的题目却是一个必备的能力，对于提升学生思维能力有着积极的作用和帮助.

方向六：三角恒等变换+不等式放缩

【评析】事实上，方向五、六均建立在对函数进行三角恒等变换的基础上，使用了不等式放缩法.虽然求解过程使用了四维形式的基本不等式，看似超出了高考要求，但事实上高考中的许多问题使用较为恰当的不等式来解决会更加简洁和快捷，利用柯西不等式、排序不等式、琴生不等式、权方和不等式等来解决高考中的最值问题和证明不等式方面的例子不胜枚举，下面我们再利用琴生不等式解决此题.

方向七：诱导公式+函数思想+不等式放缩

由于f(x)是最小正周期为2π的奇函数，故可先研究f(x)在x∈(0,π)上的最值问题，方法如下：

f(x)=2sinx+sin2x=sinx+sinx+sin(π-2x)，

因为函数y=sinx是x∈(0,π)上的上凸函数，故由琴生不等式可知，

事实上，琴生不等式在解决一元函数的最值问题上比较有效，当然该不等式也是函数凹凸性的一个体现，事实上，例1的题源就来源于此.

【例2】已知A,B,C是△ABC的三个内角，求sinA+sinB+sinC的最大值.

解：由于A+B+C=π，设f(x)=sinx且函数y=sinx是(0,π)上的凸函数，故有

琴生不等式的定义：

1.设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若对(a,b)上的任意两点x1,x2，则

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立；

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.

下面我们抛开三角恒等变换的方向，从解析几何中的代数观点来解决此题，这也是解决三角函数问题的一种有效思路.

方向八：高观点下的二元条件最值问题求解的通法——拉格朗日乘数法

在方向三的基础上将问题转化为变量a,b满足条件a2+(b-1)2=1，求2ab的最小值.

该方法属于高等数学范畴，但在解决二元最值问题上非常有用，故可在能力较好的学生中或数学学科竞赛、培优中推广使用.