浅谈必要性探路在导数压轴题中的应用——以2022届武汉市九调第21题为例

湖北 罗小兵

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)指出：数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.笔者在教学实践中基于数学学科核心素养展开教学研究，2022届武汉市九调第21题充分体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.

我们在进行数学问题的转化时，要求这种转化是等价的，也就是说既要满足充分性，又要满足必要性，但在很多时候为了找到问题的突破口，比如含参不等式的恒成立问题，可以找到使问题成立的必要条件，又由于必要条件得到的参数取值范围是必须满足的取值范围，所以在对充分性进行验证时只需要限定在这个范围内进行即可，这就是“必要性探路”.问题的关键是在证明必要性时，我们究竟该取什么值？为什么取这个值？这都是值得我们深思的问题.

1.试题呈现与解法探究

【试题再现】题1：已知函数f(x)=2(x-2)lnx+ax2-1.

(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.

(1)答案略；

评析：对于解法一，优点是比较符合学生的认知水平，参变量分离也是解决恒成立问题的通性通法；缺点是计算量大，很多学生在求导时出现问题，同时在后续分析过程中会涉及隐零点问题，也有一定难度，难以得到最终结果.

对于解法二，我们在感叹方法巧妙的同时又心生疑惑：为什么取值是1，而不是定义域内的其他值，而且代入1正好是参数的取值范围.当学生带着这样的疑惑来向老师求助时，作为传道授业解惑的教师，有必要厘清这种解题方法的来龙去脉.

2.考题链接

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若对任意x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围.

德氏乳杆菌（Lactobacillus delbrueckii）亚种保加利亚乳杆菌是使用D-乳酸脱氢酶（DLDH）将丙酮酸盐主要转化为D-乳酸的非均匀乳酸菌，其功能特性仍然不佳，进一步的研究表明，乳酸脱氢酶活性受氧下调，因此在厌氧条件下达到最高的D-乳酸滴度为1.94 g/L[29]。D-乳酸是德氏乳杆菌的主要乳酸产物，但不能被人体肠道代谢，Zhang J等[30]进一步研究了氨基酸水平上D-LDH和L-LDH基因的进化，发现德氏乳杆菌D-LDH基因是正向选择的，可能是长期驯化的结果。Viana R[31]发现干酪乳杆菌有两种特征基因编码乳酸脱氢酶活性，它特别催化了L-乳酸的形成。

(1)答案略；

评析：构造差函数和必要性探路最终都得到满足题设的必要条件，但利用必要性探路得到参数取值范围的过程要简洁得多；最后对充分性进行验证，本题采用的是反证法.另外，对于必要性探路为什么取0而不是其他值，分析思路依然是利用公切线求切点.

3.推广引申

命题：若f(x)在开区间D上一阶可导，f(x)≥0，且存在x0∈D，使得f(x0)=0，则f′(x0)=0.

(2)f(x)≥g(x)在x>0时恒成立，求a的取值范围.

图1

图2

评析：在联立方程组求公切线的切点过程中，如果出现多组解，我们的探路点并不是随便选取一个，往往还需要进行更深入地分析找到合适的探路点，如果从图象上来描述，则是公切线两侧的曲线具有相反的凹凸性.

4.反思感悟

综上所述，必要性探路在解决含参不等式恒成立问题上是一个有力的武器，我们也明白了其原理和适用范围.现在我们已经知道探路点的获取并不是碰运气，而是通过严密的逻辑推理所得到的，教师在进行解题时，不仅要教会学生解题方法，更要让学生知道如何合理地选择方法，同时对于方法的原理要知其然还要知其所以然，否则就真的成为了“碰运气”.