精准复习万有引力与航天的策略

浙江 成金德

随着时代的进步，航天事业的蓬勃发展，作为发展高科技的一个重要领域，航天事业必将迎来高度关注、竞争激烈的新的发展态势。

牛顿在研究天体运动时，应用牛顿运动定律并结合开普勒定律，建立了伟大的万有引力定律，为探索宇宙奠定了坚实的基础。近年来我国成功发射“天问一号”“嫦娥五号”和“空间站天和核心仓”等航天器，作为与航天有着直接联系的“万有引力与宇宙航行”的知识得到重视是众望所归。为了精准复习有关“万有引力与宇宙航行”的知识，本文从复习的“四大策略”方面作些探讨，供读者参考。

策略1——建模型

本章的核心内容是一个物理模型，也就是将人造卫星或天体的运动抽象成匀速圆周运动，人造卫星或天体做圆周运动所需要的向心力由中心天体的万有引力提供，即

其中r是人造卫星或天体与中心天体球心间的距离，R是人造卫星或天体做圆周运动的轨道半径。

策略2——明要点

1.两大定律

(1)万有引力定律

万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算，也可应用于质量分布均匀的两个球体间，其中r是两个球体球心间的距离。当两个物体不能看成质点时，可假想将物体分割成无数个质点，求出物体上每个质点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力。

(2)开普勒定律

①开普勒第一定律(也称轨道定律)。所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

②开普勒第二定律(也称面积定律)。对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

2.三大运行参量

人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对人造卫星的万有引力提供向心力，可得线速度v、角速度ω和周期T与轨道半径R的关系：

(1)线速度v与轨道半径R的关系

(2)角速度ω与轨道半径R的关系

(3)周期T与轨道半径R的关系

3.三种运行轨道

(1)赤道轨道。如图1所示，卫星的轨道与赤道在同一平面内，同步卫星的轨道就是赤道轨道的一种。

图1

(2)极地轨道。如图2所示，卫星的轨道经过地球的南北两极，如极地气象卫星的轨道就属于极地轨道。

图2

(3)其他轨道。除赤道轨道和极地轨道以外的卫星轨道，如图3所示。

图3

不管是何种轨道，其轨道的圆心必与地球的球心重合。

4.宇宙速度

(1)第一宇宙速度(环绕速度)。使人造卫星环绕地球表面附近作匀速圆周运动，在地面附近的最小发射速度，其大小为v1=7.9 km/s。第一宇宙速度的粗略计算方法：

(2)第二宇宙速度(脱离速度)。使物体挣脱地球的束缚，在地面附近的最小发射速度，其大小为v2=11.2 km/s。

(3)第三宇宙速度(逃逸速度)。使物体挣脱太阳引力的束缚，在地面附近的最小发射速度，其大小为v3=16.7 km/s。

宇宙速度均指发射速度，但第一宇宙速度与环绕地球运行的最大速度相等。

5.两类运动

(1)稳定运动

(2)变轨运行

卫星在某一轨道上绕中心天体运动时，如果卫星由于某种原因，其速度v突然变化，则中心天体提供的万有引力与卫星所需要的向心力不再相等，卫星将做变轨运动。

6.二种典型的星体

(1)同步卫星(静止卫星)

跟地球自转同步的卫星(相对地面静止)叫做同步卫星。同步卫星的特点有：

①同步转动。与地球同步转动，角速度等于地球自转的角速度，周期等于地球自转的周期，即T=24 h。各种同步卫星的角速度相等、线速度的大小相等；

②同一轨道。同步卫星的轨道平面与赤道在同一平面上，所有地球同步卫星处在同一轨道上。同步卫星高度不变，其大小计算如下：

设地球表面处的物体质量为m′，其受到地球的万有引力近似等于重力，即

取地球表面处的重力加速度g=9.8 m/s2，联立解得

(2)双星

如图4所示，两个相距为L、质量分别为m1、m2的星体，它们在万有引力的作用下绕它们连线上的某一点O做匀速圆周运动，这样的系统称为双星系统。

图4

双星系统显著的特点是两者的距离保持不变，向心力大小相等，角速度相等，周期相等。

策略3——善区别

1.区别轨道半径和间距的关系

2.区别发射速度和环绕速度的关系

3.区别赤道上随地球做圆周运动的物体与近地卫星的关系

地球赤道上的物体随地球自转做圆周运动的轨道圆心与近地卫星的轨道圆心都在地球的球心，它们做匀速圆周运动的半径都可认为等于地球的半径R，但是它们的线速度并不相等，虽然它们受到的万有引力大小相等，但赤道上的物体只有一部分的万有引力用来提供向心力，而近地卫星将全部的万有引力都用来提供向心力。

4.区别万有引力与重力的关系

如图5所示，地球对地球表面上的物体的万有引力产生两个效果：其一是提供物体随地球自转所需要的向心力F向；其二是重力mg。

图5

策略4——知热点

1.求中心天体的质量

【例1】(2021年全国乙卷第18题)科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置，如图6所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为

图6

( )

A.4×104MB.4×106M

C.4×108MD.4×1010M

【分析】把S2绕黑洞的运动看成是匀速圆周运动，由图6中可以看到，S2绕黑洞运动的周期T为16年，地球的公转周期T0为1年。由题意可知，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是：r=1 000R

地球绕太阳做圆周运动的向心力由太阳对地球的万有引力提供，即

S2绕黑洞作圆周运动的向心力由黑洞的万有引力提供，即

代入数据解得M黑=3.90×106M。故选项B正确。

2.分析卫星的运行参量

【例2】(海南省2021年普通高中学业水平选择性考试第4题)2021年4月29日，我国在海南文昌用长征五号B运载火箭成功将空间站天和核心舱送入预定轨道。核心舱运行轨道距地面的高度为400 km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36 000 km。则该核心舱的

( )

A.角速度比地球同步卫星的小

B.周期比地球同步卫星的长

C.向心加速度比地球同步卫星的大

D.线速度比地球同步卫星的小

【分析】核心舱和地球同步卫星都因为受到地球的万有引力而做匀速圆周运动，则

由于核心舱运行轨道距地面的高度为400 km左右，地球同步卫星距地面的高度接近36 000 km，即r舱

ω舱>ω同，T舱a同，v舱>v同

可见，选项C正确。

【点评】求解卫星绕中心天体做圆周运动的运行参量时，只要应用中心天体对卫星的万有引力提供向心力建立方程，一般均可得到相应的结果。

3.考查变轨问题

【例3】(2021年天津市普通高中学业水平等级考试第5题)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下中国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图7所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器

图7

( )

A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态

B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短

C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速

D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大

【分析】天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速椭圆运动，天问一号只受到火星对它的万有引力作用，此时并非处于平衡状态，选项A错误；天问一号轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，由开普勒第三定律可知，天问一号在轨道Ⅰ运行的周期比在轨道Ⅱ运行的周期长，选项B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，是做轨道半径减小的近心运动，需要的向心力要小于提供的向心力，因此，天问一号在P点必须实施点火减速，选项C错误；天问一号在轨道Ⅰ上向P飞近时，由于万有引力做正功，动能增大，天问一号在向P飞近时速度将增大，故选项D正确。

【点评】卫星在变轨时，如果轨道半径增大，即做离心运动，则卫星必须先加速；如果轨道半径减小，即做近心运动，则卫星必须先减速。

4.涉及同步卫星

【例4】(江苏省2021年普通高中学业水平选择性考试第3题)我国航天人发扬“两弹一星”精神砥砺前行，从“东方红一号”到“北斗”不断创造奇迹。“北斗”第49颗卫星的发射迈出组网的关键一步。该卫星绕地球做圆周运动，运动周期与地球自转周期相同，轨道平面与地球赤道平面成一定夹角。该卫星

( )

A.运动速度大于第一宇宙速度

B.运动速度小于第一宇宙速度

C.轨道半径大于“静止”在赤道上空的同步卫星

D.轨道半径小于“静止”在赤道上空的同步卫星

【分析】第一宇宙速度在数值上等于绕地球表面做匀速圆周运动的卫星的线速度，此速度也是环绕地球做匀速圆周运动的所有卫星的最大线速度。由于“北斗”第49颗卫星做圆周运动的半径远大于地球的半径，所以，它的环绕速度小于第一宇宙速度，选项A错误，选项B正确；

环绕地球做匀速圆周运动的卫星，受到的万有引力提供向心力，即

从上式看到，只要绕地球做匀速圆周运动的卫星的周期相同，它们的轨道半径就相同。由于“北斗”第49颗卫星的运动周期与“静止”在赤道上空的同步卫星的周期相同，则“北斗”第49颗卫星的轨道半径等于“静止”在赤道上空的同步卫星的轨道半径，可见，选项CD错误。

【点评】所有同步卫星具有相同轨道、相同线速度、相同运行周期、同方向绕行等特点。

5.综合其他知识

【例5】(山东省2020年普通高中学业水平等级考试第7题)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1，半径约为地球的0.5，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为

( )

代入数据解得g火=0.4g地=0.4g

着陆器在火星表面附近做匀减速直线运动，由速度公式得0=v0-at0

着陆器在匀减速运动过程中，应用牛顿第二定律得

F-mg=ma

所以，着陆器受到的制动力大小为

可见，选项ACD错误，选项B正确。

【点评】本题中的着陆器在接近火星表面的运动过程中做匀减速运动，这样，就将天体运动的问题与牛顿第二定律和运动学知识联系在一起。综合应用相关的知识可顺利求出结果。

6.应用开普勒定律

【例6】(2021年全国甲卷第18题)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为

( )

A.6×105m B.6×106m

C.6×107m D.6×108m

【分析】忽略火星自转，在火星表面的物体受到万有引力等于重力，即

设某卫星绕火星做圆周运动的周期也为1.8×105s，其半径为r。由万有引力提供向心力得

设近火点到火星中心的距离为R1=R+d1

设远火点到火星中心的距离为R2=R+d2

解以上各式得d2≈6×107m，故选项C正确。

【点评】涉及椭圆轨道和周期等问题时，一般需要应用开普勒定律求解。

总结