建立虚功模型处理平衡问题

王磊 陈建文

摘   要：虚功原理是理论力学中的经典理论，应用虚功原理可以简化一些物理问题的处理。通过分析虚功原理的简要发现历程，构建不同类型的物理模型，展示了虚功原理在平衡问题、圆周运动问题和电学问题中的应用。

关键词：虚功;力学;平衡;虚位移

中图分类号：G633.7 文献标识码：A    文章编号：1003-6148（2022）4-0060-3

1    虚功原理的背景

虚功原理是在机械模型中逐渐被认识到的。早在古希腊时期，哲学家亚里士多德在研究杠杆机械模型时受到圆周运动的启发得到这样的结论：当杠杆两端重物的运动速度与其重量成反比时杠杆平衡（图1）。速度反比即为位移反比[1]，这个结论本质上已经接近于虚功原理，因两边重力做功相互抵消。

2    虚功原理在中学物理问题中的应用

例1  如图3所示，一个半径为R的四分之一光滑圆柱面固定在水平桌面上，柱面上有一条单位长度质量为λ的均匀绳索。绳索因A端受到水平拉力F作用而平衡，绳索另一端B刚好与桌面接触，求水平拉力F的大小。

例2 如图4所示，一均匀的柔软粗绳，单位长度质量为λ。穿过半径为R的滑轮，绳的两端吊在天花板的两颗钉子A、E上，AE之间距离为2R，滑轮轴上挂一个重物，重物与滑轮的总质量为M，不计摩擦力。求绳最低点C处的张力。

例3 如图5所示，一直角三棱柱，其斜边水平固定在地面上，三棱柱的一个底角为θ。一条质量均匀分布的软绳跨过直角两边，不计一切摩擦，三棱柱的顶端圆滑。证明当绳平衡时它两边的端点M、N必在同一水平面上。

解析：设繩总长为l，绳的单位长度质量为λ，斜面左侧绳长为s，则右侧绳长为l-s，故有左侧绳受重力为m1g=λsg，右侧绳受重力为 m2g=λ（l-s）g。设绳平衡后左边沿斜面下滑一微小位移Δx，则左侧绳重心下降高度为Δxsinθ，右侧绳重心上升高度为Δxcosθ。根据虚功原理有λsgΔxsinθ=λ（l-s）gΔxcosθ，整理得ssinθ=（l-s）cosθ，故M、N等高。

解析：以整个转动系统为参照系，A、B两球受到的惯性离心力FA=FB=mω2lsinα。设轻杆绕O点产生一个微小的角位移Δα，则A、B两球在水平方向的微小位移为Δx=lΔαcosα，竖直方向的微小位移为Δy=lΔαsinα，物块C竖直向上移动的距离为2Δy，在转动系统参照系下应用虚功原理，有FAΔx+FBΔx=mAgΔy+mBgΔy+Mg2Δy，整理可得2mω2lsinα·lΔαcosα=2mglΔαsinα+Mg2lΔαsinα，进一步整理得α=arccos。

参考文献：

[1]胡娜.力学原理的真理性反思——以虚功原理为例[J].自然辩证法研究，2016，32（5）：95-100.

[2]张朝良.例谈虚功原理在静力学问题中的效用[J].中学物理教学参考，2019，48（5）：91.

（栏目编辑    蒋小平）