金融市场中递增扩张映射模型的混沌吸引子分叉

顾恩国，孙维湘川

（中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074）

自从DAY开创性地讨论了具有异质相互作用主体的金融市场模型［1］后，已有数百篇后续论文［2-6］研究了市场参与者的交易可能导致明显不可预测的价格动态——价格随机交替上涨或下跌，即所谓的牛市和熊市动态，这加深了对金融市场如何运作的理解.本文对文献［7］中的假设进行简化，得到一个具有3个子系统的不连续映射模型，主要讨论其单调映射系统的混沌吸引子的两种分叉.

本文首先确定与多波段混沌吸引子相关的参数区域，它由与排斥周期环发生同宿分叉的相关曲线界定，该同宿分叉可能导致吸收区间的合并、消失、扩展或混沌吸引子的最终分叉［8-10］.值得注意的是，一维映射的多波段混沌吸引子的边界由关键点（critical point）及其像给出.关键点的像和原像也称为某一级的关键点.混沌吸引子的边界点（即关键点）与属于吸引子直接吸引域边界的排斥周期环中的一个点发生碰撞，该排斥环就发生同宿分叉；其次是研究导致吸引子几何结构突变的边界碰撞分叉（BCB）.当映射有多个不连续点时，混沌吸引子边界上的一个关键点可能与另一个关键点发生碰撞.在最简单的情况下，可能是与不属于混沌吸引子的不连续点发生碰撞，即可能发生混沌吸引子的BCB.它的一个特征是当参数接近分叉值时，吸引子的一个或几个新波段出现/消失，其大小收缩到零.应该指出的是，对混沌吸引子边界碰撞分叉的研究是一项具有挑战性的工作，目前相关研究还很少.文献［11］在经济学领域的应用模型的背景下，首次报道了其中的一些机制.文献［12］描述了具有多个不连续点的一维映射中混沌吸引子出现的两种新的分叉机制：混沌吸引子的外部边界碰撞分叉与内部边界碰撞分叉.

1 动力学模型

本文假设一个造市商通过提供或吸收流动性来调节超出均衡的交易，这取决于超额需求是正的还是负的.除清盘外，市场按以下规则调整价格：

其中P是价格对数，μ是正的价格调整参数，是4种类型投资商的需求.因此，过度购买会导致价格升高，过度抛售会导致价格降低.为了简单起见，且不失通用性，本文取参数μ等于1.图表分析师相信牛市和熊市的持续存在.第一类图表分析师需求如下：

其中反应参数c1，a，c1，b，c1，c，c1，d都是非负的.反应参数c1，a，c1，c分别表示达到某种普遍的乐观和悲观，而参数c1，b，c1，d表示第一类图表分析师感知价格变化后的交易反应强度.如果价格处于牛市（熊市）市场，即如果价格对数P高于（低于）基本价值对数F，则第一类图表分析师乐观地买入（悲观地卖出）.所有市场参与者都知道基本价值是恒定的.

第一类基本面分析师期望价格能回归它们的基本价值，因此，基本面分析师的需求如下：

其中反应参数f1，a，f1，b，f1，c，f1，d都是非负的.第一类图表分析师跟第一类基本面分析师总是往相反方向进行交易.他们在一个估值过高的市场卖出，而在一个估值过低的市场买入.与第一类图表分析师相似，第一类基本面分析师的交易强度可能会取决于市场情况：牛市中某一价格对基本价值的偏差可能会导致比熊市同一偏差更高或者更低的交易.第一类图表分析师与第一类基本面分析师的共同点是他们总是保持活跃.一旦他们察觉到价格对基本价值的偏差，他们便开始交易.第二类图表分析师和基本面分析师与第一类是不同的，因为他们只有在超过临界值水平的时候才会变得活跃.本文假设第二类交易者更喜欢关注市场进入和交易固定数量的资产，第二类图表分析师与基本面分析师的需求分别如下：

和

其中c2，a＞0，f2，a＞0分别表示图表分析师和基本面分析师在牛市订单的多少，而c2，b＞0，f2，b＞0分别表示图表分析师和基本面分析师在熊市订单的多少，z＞0表示临界值.将上述（2）～（5）式代入（1）式得：

这 里s1=c1，b-f1，b，s2=c1，d-f1，d，m1=c1，a-f1，a，m2=f1，c-c1，c，m3=c2，a-f2，a，m4=f2，b-c2，b.注 意s1，s2，m1，m2，m3，m4可以取任意值，在牛市和熊市中，s1和s2的正值（负值）分别意味着第一类图表分析师比第一类基本面分析师具有更多（更少）的侵略性.当然，对第二类投资者的m3，m4有同样的解释：m3的正值（负值）意味着在牛市中，第二类图表分析师比第二类基本面分析师具有更多（更少）的侵略性，在熊市中，m4的正值（负值）意味着在熊市中第二类图表分析师比第二类基本面分析师具有更少（更多）的侵略性.m1，m2分别表示在牛市和熊市中第一类交易者的预期差异.

对（6）式做变换ut=Pt-F，可得到以下动力系统：

考虑到第一类交易者的侵略性和预期方面在牛市和熊市中是一样的，本文令s1=s2=s，m1=m2=m'，那么（7）式可以表示为一维不连续映射：

本文虽然只讨论线性映射，但是用函数值fL(-1)、fM(-1)和fM(1)、fR(1)表示的结果，对于具有非线性的这类映射仍然有效.本文只研究递增扩张映射，即1+s＞1的情况，其他情况以后作讨论.

2 排斥环的同宿分叉

本节主要在参数平面(mL，mR)上讨论并确定混沌存在的区域，研究吸收区间的产生/消失、合并/拆开和扩张/缩小的机制，涉及排斥周期环的同宿分叉.图1给出了映射（8）不变的吸收区间I，在此区间内映射（8）具有有界的渐近动力学行为.

当s＞0时，映射为扩张映射，所有不动点L*=均是映射（8）的排斥1周期环，当mL＞s＞m＞-s＞mR，所有不动点均存在即是实的.图1中3个不动点均是实的均衡点，条件fM(-1)=fR(1)和fL(-1)=fM(1)对应于吸收区间边界的变化，这也可能导致混沌吸引子边界的变化.

图1 吸收区间Fig.1 Absorbing intervals

定理3的后两个条件保证混沌吸引子包含两个不连续点.如果只有其中一个条件遭到破坏，则吸收区间将通过同宿分叉缩小为仅包含一个不连续点的吸收区间（产生类似于图1（a）的吸收区间）；若两个条件同时遭到破坏，则吸收区间将通过同宿分叉拆分为两个仅包含一个不连续点的吸收区间（产生类似于图1（b）的吸收区间）.定理3中前4个条件对应的吸收区间必须包含在以排斥环为端点的吸引域中，如果其中一个条件不成立，例如fM(-1)=m-(1+s)=即中间分段的关键点与左边的排斥不动点L*发生碰撞时，此时排斥不动点L*产生一个同宿轨道，即系统（8）会发生同宿分叉.分叉后，即当fM(-1)＜时，混沌吸引子消失，该分叉被称为混沌吸引子的最终分叉，它伴随着混沌吸引子的产生和消失.图2给出了定理3中前4个条件的数值验证，它是关于(mL，mR)的二维分叉图.参数取在白色区域，系统是混沌的，该区域的边界为4条曲线，它们分别对应着排斥环L*和R*产生同宿分叉的4个可能条件.

图2 关于mL，mR的二维分叉图，其中s=1.2，m=0.4Fig.2 Two dimensional bifurcation diagram onmL，mR，where s=1.2，m=0.4

综上3个定理，构成混沌吸引子边界的关键点与构成吸引域边界的排斥周期环发生碰撞时会产生同宿分叉，并且碰撞后，其吸收区间的扩张/缩小、合并/拆分、产生/消失也可能伴随着混沌吸引子的产生/消失（即混沌吸引子的最终分叉）.

3 混沌吸引子的外部边界碰撞分叉

在图3中，可以观察到随截距mL、mR的变化，映射中的分叉结构：映射中具有单波段混沌吸引子的区域（黄色）与多波段混沌吸引子的区域（其他不同颜色）混合在一起.目前，人们还无法完整地描述所观察到的结构的组织原则.事实上，在第2节已经看到，有界动力学和发散动力学区域之间的边界对应于最终分叉，它与排斥周期1环（即不动点）的同宿分叉是相关的.进一步地，图3中的一些子结构也可以被识别出来，例如，图3中位于mL=3附近存在小的梯形区域，在文献［11］中也报道了类似的结构.然而，对于具有不同波段数的混沌吸引子对应的区域之间的大部分边界，目前还不清楚它们与哪些分叉有关.举例来说，在图3中用A标记的参数路径上，相应的一维分叉图如图4所示，本节中将对其进行详细研究.在图4中标记的μ2和μ3分叉中，可以看出一些吸引子的扩张分叉，其特征是在分叉处混沌吸引子的大小突然跳跃.至于另外一种分叉，与吸引子附加波段（或间隙）的出现有关，导致它们的机制尚不清楚，下面本文通过一个例子来解释该机制.

图3 映射（8）参数为s=0.22，m=-0.5时的二维分叉图，给出了波段数为1，2，…，6，混沌吸引子相对应的区域和与发散动力学相关的区域Fig.3 2d bifurcation diagram of map（8）withs=0.22，m=-0.5，the region corresponding to chaotic attractor with band number 1，2，…，6，and the region related to divergence dynamics are given

例1在图4中用μ1标记的参数值下，混沌吸引子从四波段过渡到十波段.本例中，在分叉时刻，一些间隙中（即在分叉之前已经存在的吸引子的外边界的外面）出现大量的混沌波段.

图4 映射（8）的一维分叉图，其中s=0.22，mL=3.9，m=-0.5Fig.4 One dimensional bifurcation diagram of the map（8），wheres=0.22，mL=3.9，m=-0.5

下面给出导致这种分叉的机制.考虑随着参数值mR递增时映射的分叉过程.在分叉之前，吸引子由4个波段组成，如图5（a）所示.此时，不连续点x=-1在混沌边界点的内部，而不连续点x=1在混沌边界点的外部.在分叉之前，吸引子的中间靠上面的波段位于映射的左侧和中间两个定义区域，即x＜1；然后，随着mR增加，这个中间靠上面波段的上边界向上移动.考虑到这个上边界是由fL◦fL◦fR◦fL(-1)给出的，则当满足下面条件fL◦fL◦fR◦fL(-1)=1时发生分叉，此时吸引子的中间靠上面的波段与不连续点x=1发生碰撞（见图5（b））.碰撞发生后，中间靠上面的波段跨越映射（8）所有的3个定义区域，而其中一部分是由区间J=[1，fL◦fL◦fR◦fL(-1)]给出，它位于映射fR的定义域，这个区间的像形成了在分叉后出现的吸引子的附加波段.可以证明，J的前6阶像位于分叉前已经存在的波段外侧，第7阶像则位于已经存在的吸引子波段内部（见图5（c），f7（J）位于中间靠上面的波段）.因此，人们就观察到了从四波段到十波段混沌吸引子的转变.不仅如此，分叉还改变了吸引子的外边界，分叉后，它们与吸收区间的边界相重合.由于发生分叉时，区间J退化到一个点，当参数接近分叉值时，这些新波段的宽度缩小为零，这就解释了一维分叉图4中新增波段的楔形特征.从上面的例子中，可以认识到混沌吸引子的外部边界碰撞分叉的主要特征.顾名思义，这些分叉是在混沌吸引子的边界点（即关键点）与分叉之前位于映射吸引子外的另一个不连续点碰撞时发生的.

图5 （a）分叉之前，（b）分叉时，（c）发生边界碰撞分叉之后，四波段混沌吸引子变成十波段混沌吸引子Fig.5 （a）before bifurcation，（b）at the moment of bifurcation，（c）after boundary collision bifurcation，the four-band chaotic attractor becomes the ten-band chaotic attractor

本文只研究了递增扩张映射模型的动力学行为，得到了混沌的存在条件.而混沌存在是确定的系统可以产生随机波动的内在原因之一，因此，本文揭示了金融资产的价格随机波动的内生原因.由于与同宿分叉有关的最终分叉与混沌吸引子的出现和消失有关，因此最终分叉产生的条件揭示了金融市场发生金融危机的条件，因此，相关研究结果有利于监管机构了解发生金融市场崩溃或金融危机的原因.混沌吸引子的外部边界碰撞分叉揭示了混沌吸引子的结构发生突变的条件，这也揭示了金融资产价格波动的内在复杂性，其研究结果将加深人们对金融市场内生变化规律的认识.