平面解析几何中代数运算的基本原则

重庆 秦文波 刘志成

平面解析几何是通过平面直角坐标系运用代数的方法解决平面几何问题的一门学问.平面解析几何是方法论，其本真是几何，核心是代数运算.我们在面对具体问题时，既要关注几何本真，落实直观想象核心素养；又要以代数运算为核心，落实逻辑推理和数学运算核心素养.大量实践表明，由于在运算过程中不仅需要引入多个未知数、牵涉多个较复杂的方程，而且由条件到结论的路径也不唯一，再加上人们对复杂运算的畏惧，使得代数运算成为了解析几何最大的难点.因此，要教好解析几何，必须要解决“代数运算”这个痛点.在经过大量的解题实践和开展一系列主题教研活动后笔者发现，在面对具体问题时，只要我们遵循代数运算的五个基本原则，并在运算过程中一以贯之，是能很好地推进代数运算获得理想结果的.笔者将它们整理出来，以期抛砖引玉.

1.借力几何分析

解析几何是研究几何问题的方法论，解析是方法，几何才是本真.面对一个具体的几何问题，在代数运算之前，我们应该先画出图形，从几何的角度直观感知、理性分析，而后再选择用几何或者解析的方法解决问题.这不仅是解析几何方法论的基本要求，也直接关系到接下来用“解析法”求解时的代数运算是否切实可行.

【案例1】设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过点B作AC的平行线交AD于点E.

(1)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；

(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过点B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

对于本题中的(1)，画出图形后，对几何图形适当分析，就可以由平行得到∠EBD=∠ACD相等，发现等腰三角形，基本不用代数运算就可获得|EA|+|EB|=4，在此基础上，借助椭圆定义就可求得点E的轨迹方程.如果我们不对其作基本的几何分析，直接对这个几何问题代数化，遇点设点、遇线设线，用代数的方法运算解决问题，不但难度很大，而且也不符合解析法基本要求.

事实上，除代数运算之前应该几何分析以外，在代数运算的过程中，也要适当借力几何分析，以形助数，这样才能快速、精准获得运算结果.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的下顶点作两条斜率之和为2的直线l1，l2与椭圆C的另一交点分别为M，N两点，求点A(-1,0)到直线MN距离的最大值.

对于本题(2)，在设直线MN的方程为y=kx+m(m≠±1)(斜率存在时)后，可以经过一系列的代数运算得到k+m=1.这时，如果我们将k+m=1代入y=kx+m(m≠±1)，再结合斜率不存在时的情形，不难发现直线MN经过定点T(1,1).如果此时我们能借助图形进行适当几何分析，很容易得到点A(-1,0)到直线MN距离的最大值就是线段AT的长度，则不需要后续再做消元、变形等复杂的代数运算.

一般地，无论是在用解析法进行代数运算之前还是在代数运算的过程中，借力几何图形进行适当的几何分析，对我们减少运算量、快速获得正确结果都是十分有益的.因此，借助几何分析助力代数运算应该是、也一定是代数运算的基本原则.

2.注重系统分析

分析几何问题是代数运算的前提，以系统观为指导，对解析几何问题进行系统分析是代数运算必须坚持的基本原则.将几何问题看成一个运动系统，找到引发运动的源头，从源头出发厘清几何关系，明确到达目标的路径，是系统分析几何问题的基本思路.根据几何运动路径设计运算方案，按照拟订方案展开运算、获得结果，是在系统观指导下对代数运算的基本要求.

【案例3】见本文案例1(2)，案例2(2)

对于案例1(2)，在系统观的指导下，可以按照如下方式分析几何系统、设置运算方案：

①这是一个运动系统，它是由直线l绕着点B旋转引起，当直线l运动时，由于直线MN⊥l，所以直线MN也会跟着运动，最终导致四边形MPNQ的形状发生改变，题目要求在这个运动过程中四边形MPNQ面积的取值范围.

②由于整个运动系统是由直线l的旋转引起，因此可以考虑用直线l的斜率k来表达四边形MPNQ的面积，将它表示为k的函数，通过研究该函数的值域获得四边形MPNQ面积的取值范围，按照这种运算方案可以选择“设线法”来求解此题.

③对于案例2(2)，在系统观的指导下，也可以按照相同的方式分析几何系统、设置运算方案，选择“设线法”来求解此题.

实践表明，在用解析法解决几何问题的过程中，不管是分析几何问题还是设计代数运算方案，都应该在系统观的指导下进行前后联动地系统分析，这是代数运算得以顺利开展、获得正确结果的重要保证.

3.重视比较优化

一般地，面对同一个几何问题，分析的视角是多样的，每一种视角至少对应着一种分析、刻画几何问题的方式，每一种方式都可以设计一个或者多个运算方案.在众多运算方案面前，比较、分析、选择一种适合解题者的最优方案是代数运算最重要的事情.笔者发现，许多解题者不重视多角度分析，不重视比较优化，获得一种思路后就盲目运算，或者在多种思路面前随意选择一种展开运算，这都是有违解析法基本要求的.

(1)求E的方程；

(2)证明：直线CD过定点.

对于本题中(2)，站在不同的角度分析可以获得至少如下3种运算方案：

①把整个运动系统看作是由点P的运动引起的，用点P的坐标来表达直线CD的方程，最后通过对直线CD方程的研究来证明结论，用“设点法”来设计运算方案求解此题.

②把整个运动系统看作是由直线PA的运动引起的，用直线PA的斜率来表达直线CD的方程，选择“设线法”来设计运算方案求解此题.

③把整个运动系统看作是由直线CD的运动引起，用“既设点又设线法”来设计运算方案求解该问题.

面对这至少三种方案，解题者应该结合自己的知识结构进行比较，选择一种最优方案实施，也就是要在具体运算之前做好前置思考.

值得注意的是，如果限于解题者自己的能力水平，对于某个问题只有一种分析方式，即只能设计一种运算方案，此时也需要对该方案做优化处理，待反复考量后再实施运算.

简言之，面对一个具体的解析几何问题，解题者应从多角度思考、展开分析，在获得多个运算方案后要进行比较优化，这是代数运算得以顺利实施的重要基础.

4.扎根方程思想

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过引入未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系转化为方程或方程组，然后利用方程的理论或方法解决问题的数学思想.其中“构造方程，沟通已知与未知的联系”是核心；“列n个独立方程,解n个未知数”是最基本的观点.

方程思想是代数运算非常重要的思想，在几何关系代数化、设计运算方案和实施代数运算等整个过程中必须扎根渗透、一以贯之.例如，在几何关系代数化时，要以“列n个独立方程,解n个未知数”这个基本观点为指导，恰当引入未知数、构建方程(组)，在未知数个数和方程个数问题上多加思考；在设计运算方案时，要以“好解方程、易消元”为出发点，设计运算路径；在实施代数运算时，要以“n个独立方程消n个未知数”为指引，寻找消元策略，构建运算思路等.

【案例5】见本文案例1(2)

在方程思想指导下，可以像下面这样分析、解决问题：

解析几何的核心思想告诉我们，在代数运算时，要以“好解方程、易消元”为出发点，以“n个独立方程消n个未知数”为引导，在方程思想的指导下，恰当引入未知数、构建方程，只有这样，才能寻找到合适的“消元”方案、设计出高效的运算路径，获得准确的结论.

5.保证等价转化

几何关系代数化是代数运算得以正确开展的前提.在代数化时一定要保证代数化后得到的坐标关系式与原几何关系是等价关系，也就是在代数化的过程中务必做到等价转化.比如，将几何条件“两直线垂直”代数化为“两直线斜率之积为-1”就有可能不是等价转化，因为这里或许忽略了直线斜率不存在的情况；将其代数化为“两直线的方向向量数量积为0”则是等价转化.

值得注意的是，验证代数运算的结果是对整个过程是否等价转化的检验，这关系到用代数方法获得的结论是否与原几何问题的结论等价、是否可信.在很多情况下，由于运算方案的复杂性或解题者自身的原因会使得运算结果失真，如果我们不对结果进行验证，就会得到错误的结论，所以对运算结果进行验证是非常重要且必须要做的事情.