构造圆锥模型解决立体几何中的线线角，线面角问题

黄治元

高中立体几何中的动态问题成为近些年高考数学中的热点问题，且多以压轴题的形式出现在选择、填空题中，综合考查学生的空间想象能力和对问题的转化处理能力，笔者在教学实践中发现，通过构造圆锥模型可以很好地解决立体几何中的线线角、线面角问题，

结论1如图1所示，直线MN过圆锥的顶点P，过直线MN的圆锥轴截面截圆锥所得的两条母线为PA，PB，设Q是圆锥底面⊙O上任意一点，则

结论1可以用来解决过圆锥顶点的直线与圆锥的母线的夹角问题，利用此结论的关键是根据己知条件构造出一圆锥及过圆锥顶点的直线， 评注 （1）若一动直线与一定直线的夹角为定值时，如图3，可以构造这样的一个圆锥，让定直线成为圆锥的轴线，动直线成为圆锥的“母线”;

（2）直线与平面所成角问题通常转化为直线与平面的法线所成角问题，

評注正四面体绕顶点A旋转时，直线AD与AE所成角为定值，固定AD，构造以AD为轴线，以AE为母线的圆锥成为解决本题的关键，

例3在AABC中，∠ACB= 90°，∠CAB=θ，M为AB的中点，将△ACM沿（M翻折至△ACM使得A'M⊥MB，则θ的取值不可能是（

）.

A.π/9 B.π/6 C.π/5 Dπ/3

评注条件A'M⊥MB等价于将△AC.M沿（M翻折后所形成的圆锥存在两条互相垂直的母线，

解析作如图9所示的圆锥，其中母线与圆锥轴线所成角为60°，底面圆O在平面a上，直线，可平移至直径BC位置.问题转化为：该圆锥中存在多少条母线与BC所成角为40°？由结论2易知，这样的母线有4条，故选D.

例5在棱长为3的正方体ABCD - AiBCDi中，如图10，点P是平面A1BC1内一动点，且满足PD+ PB1=2+ √13，则直线B1P与直线AD1所成角的余弦值的取值范围是（ ）.

从而点P的轨迹是平面A1BC1内以点O为圆心，以1为半径的圆，BiP的轨迹是以BiO为轴线的圆锥母线.又AD1∥BC1，则直线AD1可以平移至圆锥底面圆的某条直径位置，问题转化为求圆锥母线B1P与底面圆的直径所成角的余弦值范围，易知∠B1PO=

构造圆锥模型来解决动态立体几何中的线线角、线面角问题，关键是找出圆锥的轴线和其中的一条母线，多以定直线为圆锥的轴线，以与定直线成固定夹角的动直线为母线