建立和求解导数模型 提升数学建模素养

林相

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养[1].数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题[1].数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.解题中的建模是依据题目中的条件和结论的特征，类比联想相关数学概念、公式、定理、证明，构造出新的数学模型，从而使问题得到解决的过程，李尚志教授指出，能用现成公式加以变通解决不现成的问题，就是核心素养中的“数学建模”[2].因此，如解决函数与导数综合问题，通常需要构造函数等来解决问题，属于构造函数模型，这也体现了数学建模素养，

不等式的恒成立问题，一直是高考的热点难点问题，常作为函数与导数问题的压轴题，考查学生对不等式与函数转化思想的应用，题目形式多样，方法灵活，综合性强，难度大，本文拟运用建模方法解题，以建立和求解导数模型为例，谈谈在解题过程中如何运用数学建模方法以建立和求解模型为切入点，提升学生的数学建模素养[3].

点评解法一中分类讨论的临界点探究是学生解决这类问题中公认的难点，抓住f（x）=0分类，一步到位是我们追求的目标，但学生往往因无法找到分类讨论标准而无法前行，所以通过训练建立和求解这样的导数模型，抓住f（x）=0分类，有利于学生数学建模素养的提升，

点评 解法2中，通过分离参数后，避开了对参数进行讨论，降低了思维的难度，学生容易接受，感觉解法上有章可循，但遇到罟形式，往往要结合高等数学中的洛必达法则，建立和求解导数模型，使得此类恒成立问题迎刃而解，简洁流畅，解题过程中，引导学生建立这种导数模型的解题方法，往往能打破解题常规，避开难点，获得明快的解题思路，对培养学生的思维独创性有着重要意义，数，问题马上得到解决，用此法构思巧妙，方法新颖，起到事半功倍的效果，同时可以很好地培养学生數学建模素养，

证法2 隐零点代换

点评从a=1/e手，利用隐零点代换得到fmin（x）

=0，然后通过放缩得到f（x）≥0.通过虚设零点，整体代换的方法求出最值，这种导数模型的建立和求解，使一般问题特殊化，复杂问题简单化，

证法3 变更主元法

点评 对于涉及双变量的导数问题，f（x）= axe x-2-lnx - x+2≥0，x>0，a≥1/e时，常常反客为主，将

参数与主元换个位置，利用单调性把含参数变量的不等式证明问题转化为不含参数变量的不等式证明问题，这种建模方法比较独特，富有创造性，有效调动了学生数学建模素养的形成，

证法4 构造函数法

总之，数学建模是指我们面对实际问题，通过抽象、化简，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题，它是联系数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，在导数解题过程中引入建模方法，教师要引导学生从不同角度进行思考，对同一个问题建立不同的数学求解模型，让学生从多角度进行探究，寻求多种解题方法，培养创新意识，从而面对函数与导数综合问题时能按图索骥，一方面提升学生数学建模素养，另一方面使学生能够养成自觉运用数学建模思想解决问题的习惯，这样做往往能高屋建瓴，达到四两拨千斤的效果，

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018

[2]郭洪，刘成龙，程双，例谈模型在解2020年高考试题中的应用[Jl.中学数学研究，2021 （1）：45-47

[3]柯跃海.选拔性数学考试的命题与评价[M].西安：陕西师范大学出版社，2018